Introduction d'une pseudo-constante pour le vide dans un langage du 1er ordre

[invitecf3725df]

Bonjour,

j'ai rédigé un article étudiant les conséquences de l'introduction d'une pseudo-constante pour le vide dans un langage du 1er ordre dédié à une théorie axiomatique des ensembles;

le sujet est à la frontière des mathématiques, de la linguistique et de la philosophie; je reproduis ci-dessous le chapitre introductif, en format tex et en anglais (désolé mais je l'ai écrit directement en anglais car destiné à une revue internationale)

"The purpose of this article is to elaborate an axiomatic set theory expressed in a first order language in which the pseudo-constant Lambda, $\Lambda$, denoting the void has been introduced. ~The introduction of $\Lambda$ into the first order language of set theory allows to build the empty set from the void by means of the axiom of the parts. ~On a conceptual level, taking into account $\Lambda$ makes it possible to redefine the concept of set and to give the empty set a positive definition and a status of emblematic set.
On the other hand, the introduction of $\Lambda$ into the language of a set theory with an empty universe makes it possible to highlight a zero-order logic different and probably more legitimate than the propositional logic, which classicaly deserves the title of zero-order logic because of the absence of quantification on propositional variables. The presence of $\Lambda$ within a formal language for a theory without elements of type 1 or higher highlights a zero-order logic where quantification is possible on type-0 element. The semantics of such a language will appear empty, but will be the opportunity to introduce the pre-truth value $\emph{Empty}$.\\
In a first order theory with a non-empty universe, the interpretation of Lambda as a pseudo-constant and of $\textit{Empty}$ as a pre-truth value, i.e. as different from the "neither... nor" would let the possibility to work with a standard logic rather than with a paracomplete one.\\

First Lambda will be defined conceptually.
After that will be described a zero-order logic based on Lambda for a theory with an empty universe.
Then the highlighting of the pre-truth value "Empty" will follow.
The second section will be about the description of first-order language and theory taking into account the pseudo-constant $\Lambda$, about the axiom of the void, and about the construction of the empty set and that of a hierarchical universe from $\Lambda$.
Finally, we will pay attention to the conceptual importance and consequences of Lambda.\\

\emph{Keywords}: cut, void, potential, pre-element, pseudo-constant, zero-order logic, Empty, pre-truth value, empty set, relative nothing."

L'article fait une vingtaine de pages; quelqu'un aurait-il le courage de le lire et la gentillesse de m'exprimer ses remarques et critiques?

vous pouvez m'écrire à:

### adresse e-mail supprimée ###

merci d'avance,
Laurent
-----

[Flyingsquirrel]

Bonsoir,

L'article fait une vingtaine de pages; quelqu'un aurait-il le courage de le lire et la gentillesse de m'exprimer ses remarques et critiques?

Pour que votre demande ne viole pas ce point de la charte :

5. Ce forum est un lieu d'échange la réponse à une question peut intéresser d'autres personnes. Ne demandez donc pas dans votre premier message une réponse en privé par mail.

il faut que la discussion se fasse sur le forum et donc que votre article soit accessible à tout le monde (vous pouvez le joindre à l'un de vos messages). Si vous ne pouvez pas/ne souhaitez pas mettre votre article en ligne je serais obligé d'archiver la discussion.

Pour la modération, Flyingsquirrel.

[Médiat]

Bonjour,

1) Qu'appelez-vous pseudo-constante dans ce contexte ?
2) Quelle différence "conceptuelle" faites-vous entre "void" et "empty set" ?
3) Doit-on comprendre la phrase :

the empty set [is build] from the void by means of the axiom of the parts

Comme : "Empty set" est égal à l'ensemble des parties de "void" ?
4) Dans ce cas je suppose que soit "void" n'est pas un ensemble, soit vous abandonnez l'axiome d'extensionnalité, est-ce exact, ou quelle est votre solution ?
5) Vous dîtes que cela permet de donner une définition positive de "empty set", cela sous-entend-il que vous compter utiliser le fragement positif de la logique du premier ordre ?
6) Sinon quel est l'intérêt d'une définition positive ?
7) Vous dîtes que dans ce cas "empty set" deviendrait emblématique, en quoi ne l'est-il pas dans ZF ?
8) Que veut dire "théorie des ensembles avec un univers vide" ?, et quel en est l'intérêt ?
9) Vous parlez d'élément de type 0 ou de type 1, est-ce que cela entre de le cadre d'une logique typée (à la mode de Bertrand Russell, ou du lambda-calcul typé, ou autre), ou d'une logique du 2^nd ordre ?
10) Qu'est-ce qu'une "pre-truth value" ?
11) Pourquoi parlez-vous de logique paracomplète (ZF est une théorie de logique classique du premier ordre et non d'une logique paraconsistante) ?
12) Ce travail a-t-il pour cadre une logique modale ? Laquelle ?

[invitecf3725df]

Bonjour,

1) Qu'appelez-vous pseudo-constante dans ce contexte ?
2) Quelle différence "conceptuelle" faites-vous entre "void" et "empty set" ?
3) Doit-on comprendre la phrase :
Comme : "Empty set" est égal à l'ensemble des parties de "void" ?
4) Dans ce cas je suppose que soit "void" n'est pas un ensemble, soit vous abandonnez l'axiome d'extensionnalité, est-ce exact, ou quelle est votre solution ?
5) Vous dîtes que cela permet de donner une définition positive de "empty set", cela sous-entend-il que vous compter utiliser le fragement positif de la logique du premier ordre ?
6) Sinon quel est l'intérêt d'une définition positive ?
7) Vous dîtes que dans ce cas "empty set" deviendrait emblématique, en quoi ne l'est-il pas dans ZF ?
8) Que veut dire "théorie des ensembles avec un univers vide" ?, et quel en est l'intérêt ?
9) Vous parlez d'élément de type 0 ou de type 1, est-ce que cela entre de le cadre d'une logique typée (à la mode de Bertrand Russell, ou du lambda-calcul typé, ou autre), ou d'une logique du 2^nd ordre ?
10) Qu'est-ce qu'une "pre-truth value" ?
11) Pourquoi parlez-vous de logique paracomplète (ZF est une théorie de logique classique du premier ordre et non d'une logique paraconsistante) ?
12) Ce travail a-t-il pour cadre une logique modale ? Laquelle ?

Bonsoir,

merci beaucoup pour cette marque d'intérêt et ces questions intéressantes et pertinentes; je joins le pdf de mon article qui contient les réponses à la plupart d'entre elles; merci d'avance de prendre le temps de le lire; si vous souhaitez d'autres éclaircissements, je m'efforcerai de les apporter sur ce forum.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecf3725df]

Bonsoir,

Pour que votre demande ne viole pas ce point de la charte :

il faut que la discussion se fasse sur le forum et donc que votre article soit accessible à tout le monde (vous pouvez le joindre à l'un de vos messages). Si vous ne pouvez pas/ne souhaitez pas mettre votre article en ligne je serais obligé d'archiver la discussion.

Pour la modération, Flyingsquirrel.

Bonsoir,

merci de ces précisions; je n'avais pas remarqué que je pouvais joindre un fichier pdf, ce qui explique l'insertion de mon adresse mail.

cordialement,
Laurent

[Médiat]

Bonsoir,

Je dois vous avouer que votre papier me dérange beaucoup, vous utilisez plusieurs notions qui, à ma connaissance ne sont pas standard, mais que vous ne définissez pas, par exemple :
1) Pseudo-variable-constant
2) Pre truth value
3) Empty formula (pas dans le sens chaîne vide de caractère)
4) "the role of 0-order variable is absorbed by 1^st order variables"
5) Sub-thing
6) pre-element
7) pseudo object
8) cut (sans avoir défini au préalable une relation d'ordre dense.

Votre document ne répond pas à la plupart des questions de mon post précédent.

Vous utilisez des définitions usuelles dans un contexte, où je n'en comprends pas le sens (parler de fonctions d'une certain arité, alors qu'il n'y a ni variable ni constante dans le langage (Lambda-0 logic).

J'ai l'impression que parfois Lambda est une constante, mais vous la quantifiez, en précisant que c'est une variable.

Vous écrivez "Syntactically, we have ; semantically ", sans avoir défini ces symboles (ni parlé de preuve, ni parlé de modèle), ni explicité leur signification, or ces notations signifient " démontre " et "tous les modèles de sont des modèles de ", qui sont bien des notions syntaxiques et sémantiques quand on les applique à une formule, pas à une constante (ou variable).

Que veut dire une fonction si on ne dispose pas de variables ni de constantes ?

Vous insistez sur la possibilité de définir positivement l'ensemble vide, mais vous n'expliquez pas pourquoi cela a le moindre intérêt, puisqu'à l'évidence vous ne souhaitez pas utiliser seulement le fragment positif de la logique classique du premier ordre.

En quoi cette théorie est-elle fondamentalement différente d'une théorie du premier ordre avec un symbole de constante permettant de distinguer un élément (avec les axiomes qui vont bien, par exemple ZFC plus quelques axiomes pour cette constante, ou NBG si vous préférez) ?

Il me semble aussi qu'il manque deux aspects fondamentaux à votre document :

1) Qu'est-ce que cette nouvelle théorie pourrait apporter que ZFC n'apporte pas ?
2) Votre théorie est-elle co-consistante avec ZFC ?

Désolé d'être aussi critique, alors je vais terminer en vous remerciant pour avoir cité correctement le théorème d'incomplétude de Gödel ce qui n'est pas toujours les cas, même dans des livres de logique très connus.

[invitecf3725df]

Bonsoir,

merci beaucoup pour vos remarques; ne vous en excusez pas; j'aurais préféré que mon article soit sans reproche, mais quitte à
ce qu'il doive être remanié, autant que ce le soit grâce à des observations et questionnements critiques constructifs et légitimes tels que les vôtres. J'ai commencé à rédiger des réponses, mais je n'aurai pas le temps de les poster aujourd'hui; je le ferai ce w-e;

bon w-e à vous,
Laurent D.

[invitecf3725df]

Bonsoir,


Avant tout, je dois préciser que mon approche se veut autant philosophique que formelle. On sait que la notion d'ensemble vide ou classe nulle (Russell, Principles of mathematics) a posé de gros problèmes conceptuels à la naissance de la théorie des ensembles. Sa légitimité conceptuelle a été déniée par Fraenkel, Schröder, Frege et même Russell (sans parler de Lesniewski). Mon article tend à lui rendre cette légitimité, et cela se traduit formellement par le fait que je définis l'ensemble vide sans avoir recours à une contradiction (ensemble des éléments qui possèdent une certaine propriété contradictoire) ni à une définition par défaut (le seul ensemble auquel n'appartient aucun élément). Dans mon approche, l'ensemble vide est le seul ensemble qui ne contient que du vide, du potentiel. C'est ce que j'entends par définition "positive" de l'ensemble vide.
Vous noterez que l'axiome fondamental de la théorie Lambda affirme que Lambda, qui dénote le vide/potentiel, appartient à tout ensemble. Je vois donc un ensemble non vide comme l'expression d'un potentiel, et l'ensemble vide comme ce qui ne contient "que" du potentiel. C'est en ce sens que l'ensemble vide devient emblématique de ma théorie des ensembles, ce qu'il n'est pas dans la théorie standard, ni sur le plan formel, ni sur le plan conceptuel.

(mes réponses en gras)

1) Pseudo-variable-constant

Vous avez raison; je me rends compte que je définis longuement Lambda conceptuellement au début de l'article, et formellement
avec l'axiome du potentiel, mais pas l'expression en question.

Dans mon langage d'ordre 0, Lambda joue à la fois le rôle de variable et de constante car il est la seule "chose" qu'on puisse y prendre en compte dans une théorie avec univers vide Lambda ne dénote rien de standard (il dénote "rien", un rien relatif, le vide/pôtentiel), c'est pourquoi je le qualifie de pseudo-constante.

2) Pre truth value


Si ma logique d'ordre 0 est pertinente, une formule vide n'a pas de valeur de vérité, mais précisément la "pré-valeur" Vide, qui doit bien être distinguée de la "valeur" "ni vrai ni faux" qui est elle relative au vrai et au faux; le Vide est le degré 0 des valeurs de vérité


3) Empty formula (pas dans le sens chaîne vide de caractère)

Une formule dont la "pré-valeur de vérité" est "le Vide" (sémantiquement "antérieure" au Vrai et au Faux)

4) "the role of 0-order variable is absorbed by 1st order variables"

Cela signifie qu'une variable classique peut être instanciée par la constante Lambda; c'est sans doute le point le plus délicat du Lambda-langage du 1er ordre.


5) Sub-thing

Si un ensemble est une chose, le vide/potentiel est un degré en dessous en termes d'existence


6) pre-element

Même observation : si un ensemble est un élément, le vide/potentiel est un pré-élément

7) pseudo object

le vide n'étant bien sûr pas un objet, mais néanmoins pris en compte par ma théorie, j'en fais un "pseudo-objet"

8) cut (sans avoir défini au préalable une relation d'ordre dense).

Il ne s'agit pas de "coupure" au sens de Dedekind. J'avoue ne pas voir pour l'instant ce que je peux ajouter comme explications conceptuelle (début d'article) et formelle (axiome du potentiel)



Votre document ne répond pas à la plupart des questions de mon post précédent.Vous utilisez des définitions usuelles dans un contexte, où je n'en comprends pas le sens (parler de fonctions d'une certain arité, alors qu'il n'y a ni variable ni constante dans le langage (Lambda-0 logic).

- il y a une variable et une fonction, et Lambda joue le rôle des deux; cela dit, les formules sont vides; cette logique d'ordre 0 fondée sur Lambda sert à légitimer celui-ci et à l'utiliser en logique d'ordre 1

J'ai l'impression que parfois Lambda est une constante, mais vous la quantifiez, en précisant que c'est une variable.Vous écrivez "Syntactically, we have ; semantically ", sans avoir défini ces symboles (ni parlé de preuve, ni parlé de modèle), ni explicité leur signification, or ces notations signifient " démontre " et "tous les modèles de sont des modèles de ", qui sont bien des notions syntaxiques et sémantiques quand on les applique à une formule, pas à une constante (ou variable).

- vous avez raison, il s'agit ici, pour le moins, d'un manque de rigueur de ma part. Lambda n'est en effet ici ni une variable ni une constante, mais l'expression du vide des formules. Mais comme j'annonce un peu auparavant dans le chapitre qu'il n'existe ni déduction ni modélisation possible pour cette théorie d'ordre 0, les expressions sont inappropriées.


Que veut dire une fonction si on ne dispose pas de variables ni de constantes ?

- on dispose d'une variable et d'une pseudo-constante; effectivement, elles ne servent à rien, mais les choses les plus
intéressantes n'ont pas forcément une utilité

Vous insistez sur la possibilité de définir positivement l'ensemble vide, mais vous n'expliquez pas pourquoi cela a le moindre intérêt, puisqu'à l'évidence vous ne souhaitez pas utiliser seulement le fragment positif de la logique classique du premier ordre.

- comme je l'annonce au début de ce message, ma motivation est aussi philosophique

En quoi cette théorie est-elle fondamentalement différente d'une théorie du premier ordre avec un symbole de constante permettant de distinguer un élément (avec les axiomes qui vont bien, par exemple ZFC plus quelques axiomes pour cette constante, ou NBG si vous préférez) ?

- la différence fondamentale est que Lambda ne désigne pas un élément mais constitue une condition de possibilité des ensembles; la différence entre le vide/potentiel et un ur-element, par exemple, c'est que le ur-element, tout en étant d'un type différent d'un ensemble, doit être traité comme un élément du 1er ordre, du moins dans une théorie des ensembles du premier ordre, alors que le vide/potentiel est "quelque chose" (expression impropre qui oblige à introduire l'expression "sous chose", "pré-élémenté", "pseudo-objet") d'ordre 0! C'est ce qui permet entre autres de mettre en évidence une logique d'ordre 0 qui n'est plus la logique des propositions; c'est tout de même un résultat surprenant!


Il me semble aussi qu'il manque deux aspects fondamentaux à votre document :

1) Qu'est-ce que cette nouvelle théorie pourrait apporter que ZFC n'apporte pas ?

La construction originale de l'ensemble vide. Pour le reste, je ne suis pas sûr qu'elle soit plus puissante que ZFC. Cela dit, la théorie Lambda est elle-même préparatoire à une théorie plus originale qui introduit une logique du potentiel.

2) Votre théorie est-elle co-consistante avec ZFC ?

Je ne l'ai pas encore vérifié


Pour conclure ce message, je dirais que la question de l'ordre d'exposition des différents chapitres de mon article est très
sensible; je ne suis pas sûr d'avoir effectué le meilleur choix, mais toute option posait des problèmes de définition.

encore merci pour vos questions et remarques; je serai attentif aux éventuelles nouvelles

[Médiat]

Bonjour,
Je ne me positionne que sur le plan formel, la philosophie étant hors du champ de mes compétences ; néanmoins, il aurait été plus simple pour moi si votre document faisait bien la distinction entre les deux points de vue. Par exemple, dans l’Être et l’Événement, Alain Badiou, fonde ses réflexions philosophiques sur des mathématiques (bien connues), et si la partie philosophique contient des notules mathématiques, les éléments purement mathématiques sont en annexes et hors de toute philosophie, ce type de plan me paraît plus satisfaisant.

1) Pseudo-variable-constant
Dans mon langage d'ordre 0, Lambda joue à la fois le rôle de variable et de constante car il est la seule "chose" qu'on puisse y prendre en compte dans une théorie avec univers vide Lambda ne dénote rien de standard (il dénote "rien", un rien relatif, le vide/pôtentiel), c'est pourquoi je le qualifie de pseudo-constante.

Ceci est une explication qui éclaire votre but, mais pas une définition, les symboles de variables et les symboles de constantes sont des éléments des langages logiques du premier ordre qui ont une définition syntaxique (ce qui permet de construire les wwf) et une définition sémantique (ce qui permet d’évaluer la valeur de vérité des formules dans un modèle particulier), pouvez-vous faire de même pour la notion de « pseudo-constante » ?

2) Pre truth value
Si ma logique d'ordre 0 est pertinente, une formule vide n'a pas de valeur de vérité, mais précisément la "pré-valeur" Vide, qui doit bien être distinguée de la "valeur" "ni vrai ni faux" qui est elle relative au vrai et au faux; le Vide est le degré 0 des valeurs de vérité.

Encore une fois ceci n’est pas une définition, vous dîtes seulement ce que ce n’est pas, de plus dans votre texte, vous précisez que votre logique n’est pas trivalente, et même que cette « pré-valeur » est en fait équivalente à « Faux »

3) Empty formula (pas dans le sens chaîne vide de caractère)
Une formule dont la "pré-valeur de vérité" est "le Vide" (sémantiquement "antérieure" au Vrai et au Faux)

Comme la « pré-valeur de vérité » n’est pas définie …

4) "the role of 0-order variable is absorbed by 1st order variables"
Cela signifie qu'une variable classique peut être instanciée par la constante Lambda; c'est sans doute le point le plus délicat du Lambda-langage du 1er ordre.

Si Lambda est une constante, il est normal qu’une variable puisse être instancié par cette constante.

5) Sub-thing
Si un ensemble est une chose, le vide/potentiel est un degré en dessous en termes d'existence
6) pre-element
Même observation : si un ensemble est un élément, le vide/potentiel est un pré-élément
7) pseudo object
le vide n'étant bien sûr pas un objet, mais néanmoins pris en compte par ma théorie, j'en fais un "pseudo-objet"

Ce ne sont pas des définitions formelles.

8) cut (sans avoir défini au préalable une relation d'ordre dense).
Il ne s'agit pas de "coupure" au sens de Dedekind. J'avoue ne pas voir pour l'instant ce que je peux ajouter comme explications conceptuelle (début d'article) et formelle (axiome du potentiel)

J’avoue ne pas avoir vu de définition formelle mais seulement la note : « Similarities and differences with Dedekind cuts will be studied in another paper ».

- il y a une variable et une fonction, et Lambda joue le rôle des deux; cela dit, les formules sont vides; cette logique d'ordre 0 fondée sur Lambda sert à légitimer celui-ci et à l'utiliser en logique d'ordre 1

J’avoue ne pas comprendre comment une variable, qui est un élément de langage logique, peut aussi être une fonction, qui est un élément de langage non logique.

- vous avez raison, il s'agit ici, pour le moins, d'un manque de rigueur de ma part. Lambda n'est en effet ici ni une variable ni une constante, mais l'expression du vide des formules. Mais comme j'annonce un peu auparavant dans le chapitre qu'il n'existe ni déduction ni modélisation possible pour cette théorie d'ordre 0, les expressions sont inappropriées.

Vous dîtes ce que ce n’est pas, mais vous ne dîtes pas ce que c’est en termes de définitions standard ou déjà explicitées (ce qui n’est pas le cas de « expression du vide des formules »).

En quoi cette théorie est-elle fondamentalement différente d'une théorie du premier ordre avec un symbole de constante permettant de distinguer un élément (avec les axiomes qui vont bien, par exemple ZFC plus quelques axiomes pour cette constante, ou NBG si vous préférez) ?
- la différence fondamentale est que Lambda ne désigne pas un élément mais constitue une condition de possibilité des ensembles; la différence entre le vide/potentiel et un ur-element, par exemple, c'est que le ur-element, tout en étant d'un type différent d'un ensemble, doit être traité comme un élément du 1er ordre, du moins dans une théorie des ensembles du premier ordre, alors que le vide/potentiel est "quelque chose" (expression impropre qui oblige à introduire l'expression "sous chose", "pré-élémenté", "pseudo-objet") d'ordre 0!

Certes, mais rien ne vous empêche de faire la même chose avec une théorie du premier ordre, donc sans introduire de pseudo-, de pré- ou de sous- ; il me semble que cela serait beaucoup plus élégant.

1) Qu'est-ce que cette nouvelle théorie pourrait apporter que ZFC n'apporte pas ?
La construction originale de l'ensemble vide. Pour le reste, je ne suis pas sûr qu'elle soit plus puissante que ZFC. Cela dit, la théorie Lambda est elle-même préparatoire à une théorie plus originale qui introduit une logique du potentiel.

Mais l’ensemble vide se construit très bien dans les théories des ensembles existantes, certes de façon négatives, mais vous n’avez pas retenu l’idée de ne travailler qu’avec le fragment positif de la FOL, cela peut donc avoir un intérêt philosophique (que je ne perçois pas encore), mais d’un point de vue formel cela ne change rien.

Encore une fois mon intervention est exclusivement négative, croyez bien que si je lis vos réponses avec attention et si j'appelle à des précisions, c'est uniquement dans le but de bien comprendre où vous voulez en venir.

Cordialement,

[invitecf3725df]

Bonsoir,

merci pour ces nouvelles remarques; je prends le temps de mettre au point des réponses satisfaisantes;

à bientôt,
cordialement

[Médiat]

Bonsoir

merci pour ces nouvelles remarques; je prends le temps de mettre au point des réponses satisfaisantes;

Avez-vous une idée de la date de disponibilité de vos réponses ?

[invitecf3725df]

Bonsoir
Avez-vous une idée de la date de disponibilité de vos réponses ?

Bonsoir,

je progresse lentement mais, je pense, sûrement; j'espère pouvoir poster quelque chose de suffisamment abouti fin de cette semaine;
j'ai pris conscience grâce à vous que des aménagements techniques étaient indispensables;
merci de votre intérêt

cordialement

[Médiat]

je progresse lentement mais, je pense, sûrement; j'espère pouvoir poster quelque chose de suffisamment abouti fin de cette semaine;
j'ai pris conscience grâce à vous que des aménagements techniques étaient indispensables

Bonjour,
En attendant vos réponses, j'ai un peu creusé l'idée d'une théorie du premier ordre reprenant votre concept, il va de soi que si le fond de votre démarche est de mettre au point une nouvelle logique, cette démarche est vaine.
Les axiomes de ZFC que vous présentez page 18 peuvent très facilement être modifiés (et encore pas tous) pour intégrer un nouveau symbole de constante , il faut aussi ajouter et , afin de refléter la sémantique que vous voulez y mettre.
De plus il me semble que , peut être muni d'une relation qui en fait un modèle de cette théorie moins l'axiome de l'infini ; il s'agit du modèle d'Ackermann auquel on ajoute -1 et les relations .
Ce qui montrerait que ce fragment est consistant, et donne une méthode générale pour construire un modèle de cette théorie à partir d'un modèle de ZFC (elle serait donc co-consistante avec ZFC).
Cordialement.

[invitecf3725df]

Bonjour,
En attendant vos réponses, j'ai un peu creusé l'idée d'une théorie du premier ordre reprenant votre concept, il va de soi que si le fond de votre démarche est de mettre au point une nouvelle logique, cette démarche est vaine.
Les axiomes de ZFC que vous présentez page 18 peuvent très facilement être modifiés (et encore pas tous) pour intégrer un nouveau symbole de constante , il faut aussi ajouter et , afin de refléter la sémantique que vous voulez y mettre.
De plus il me semble que , peut être muni d'une relation qui en fait un modèle de cette théorie moins l'axiome de l'infini ; il s'agit du modèle d'Ackermann auquel on ajoute -1 et les relations .
Ce qui montrerait que ce fragment est consistant, et donne une méthode générale pour construire un modèle de cette théorie à partir d'un modèle de ZFC (elle serait donc co-consistante avec ZFC).
Cordialement.

Bonsoir,

j'ai prévu comme vous d'ajouter ces précisions sémantiques sur Lambda;
je serais intéressé de voir vos modifications des axiomes de ZFC;
quant au modèle d'Ackermann, je ne le connais que de nom, mais votre suggestion me paraît tout à fait intéressante et me réjouit;

de mon côté, je travaille surtout pour l'instant au remplacement de la valeur de vérité Faux (conçu comme non-vrai) par la valeur Vide, dont le Faux serait une sous-classe;

merci beaucoup pour votre stimulante contribution;

à bientôt
cordialement

[Médiat]

Bonjour,

je serais intéressé de voir vos modifications des axiomes de ZFC

Sauf erreur :

Axiome d'extensionalité (pas de changement) : .

Axiome de la paire (pas de changement) : .

Schéma de compréhension (inutile mais pratique) : .

Axiome de l’union (pas de changement) : .

Axiome de l’ensemble des parties : .

Axiome de l’infini (simplification) : .

Schéma de remplacement : .

Axiome de fondation : .

Axiome du choix (par la suite je noterai , un ensemble qui est une fonction de x dans y (ceci est parfaitement définissable au premier ordre), et donc , représente donc une fonction de x dans ) : .

PS : il y a une erreur dans votre document sur l’axiome de fondation (Regularity) , il faut ajouter que x est non vide.

[invitecf3725df]

Bonjour,
Sauf erreur :

Axiome d'extensionalité (pas de changement) : .

Axiome de la paire (pas de changement) : .

Schéma de compréhension (inutile mais pratique) : .

Axiome de l’union (pas de changement) : .

Axiome de l’ensemble des parties : .

Axiome de l’infini (simplification) : .

Schéma de remplacement : .

Axiome de fondation : .

Axiome du choix (par la suite je noterai , un ensemble qui est une fonction de x dans y (ceci est parfaitement définissable au premier ordre), et donc , représente donc une fonction de x dans ) : .

PS : il y a une erreur dans votre document sur l’axiome de fondation (Regularity) , il faut ajouter que x est non vide.

bonsoir,
merci beaucoup; je regarderai plus attentivement demain; concernant l'axiome de régularité, la version de mon texte est :
.
elle dit bien que x n'est pas vide, non?

cordialement

[Médiat]

Bonsoir,

concernant l'axiome de régularité, la version de mon texte est :
.
elle dit bien que x n'est pas vide, non?

Non, et justement, si x est vide, il est impossible de trouver y qui appartient à x ...

D'ailleurs ma version n'est pas meilleure car il faudrait ajouter que x est différent de Lambda.

[invitecf3725df]

Bonsoir,
Non, et justement, si x est vide, il est impossible de trouver y qui appartient à x ...

D'ailleurs ma version n'est pas meilleure car il faudrait ajouter que x est différent de Lambda.

vous avez raison, je me reconnectais pour vous le dire, mais vous aviez déjà répondu à mon post

à demain

[invitecf3725df]

Bonjour,

Bonsoir,
Non, et justement, si x est vide, il est impossible de trouver y qui appartient à x ...

D'ailleurs ma version n'est pas meilleure car il faudrait ajouter que x est différent de Lambda.

.

ceci devrait fonctionner; qu'en pensez-vous?

[Médiat]

.

ceci devrait fonctionner; qu'en pensez-vous?

Cela me paraît très bien ...

[invitecf3725df]

Bonjour,

des contretemps et surtout un manque d'imagination et de concentration, j'espère passager, limiteront mon feedback à vos

modifications d'axiomes;

je ne me pose des questions que pour un seul axiome, l'axiome du choix; vous l'écrivez:

.

mais ne pensez-vous pas qu'il ne garantit pas que "x" n'est pas vide et ne contient pas l'ensemble vide (les conditions sur

"y" ne garantissent pas qu'il ne puisse pas être l'ensemble vide); on aurait donc :





Au début de l'axiome de remplacement, il manque

Pour le reste, ça me paraît très bien et c'était en effet indispensable;

je suis particulièrement ravi de la simplification de l'axiome de l'infini, que j'aurais aimé voir moi-même; mais je ne me

suis pas facilité la tâche en écrivant dans mon article

.

alors que c'est .
que j'avais en tête!

Encore une fois merci pour votre feedback et votre aide,

cordialement

[Médiat]

Bonjour,

je ne me pose des questions que pour un seul axiome, l'axiome du choix; mais ne pensez-vous pas qu'il ne garantit pas que "x" n'est pas vide et ne contient pas l'ensemble vide (les conditions sur "y" ne garantissent pas qu'il ne puisse pas être l'ensemble vide)

Ce n'est pas gênant, car si x est vide, on ne pourra pas trouver de y dans x qui soit différent de Lambda (donc la partie gauche de l'implication sera toujours fausse, et donc l'implication toujours vraie).

Au début de l'axiome de remplacement, il manque

Je dirais bien que l'axiome de généralisation m'autorise à ne pas mettre ce , mais ce serait d'une extrême mauvaise foi : vous avez raison, il vaut mieux le rajouter.

[Médiat]

Vous avez abandonné vos recherches ?

[invitecf3725df]

Vous avez abandonné vos recherches ?

Bonsoir,

non, mais j'ai très peu de temps à y consacrer pour l'instant; j'ai fait qlq petites avancées, mais rien de présentable;

à bientôt

[invitecf3725df]

Bonjour,

je n'ai malheureusemet tjrs rien de neuf à vous apporter, mais 2 questions à vous poser :

1) qlq'1 m'a fait remarquer que Lambda pouvait être réinterprété comme un ensemble vide, et l'ensemble vide que je construis comme le singleton qui contient Lambda, donc comme le singleton de l'ensemble vide.
A mon sens, cette réinterprétation ne tient pas puisque l'axiome du vide/potentiel précise bien que Lambda n'appartient qu'à ce qui est différent de lui-même. Si Lambda est interprété comme un ensemble vide, il doit s'appartenir à lui-même.
Qu'en pensez-vous?

2) Pourriez-vous m'indiquer un tutoriel ou une référence très didactique sur une théorie des modèles qui me permettrait d'apprendre à démontrer moi-même la consistance de ma théorie?
également une référence sur la modélisation de la théorie d'Ackerman?

merci d'avance pour votre aide

[Médiat]

1) qlq'1 m'a fait remarquer que Lambda pouvait être réinterprété comme un ensemble vide, et l'ensemble vide que je construis comme le singleton qui contient Lambda, donc comme le singleton de l'ensemble vide.
A mon sens, cette réinterprétation ne tient pas puisque l'axiome du vide/potentiel précise bien que Lambda n'appartient qu'à ce qui est différent de lui-même. Si Lambda est interprété comme un ensemble vide, il doit s'appartenir à lui-même.
Qu'en pensez-vous?

Vous avez-raison, l'ensemble vide n'appartient pas à tous les ensembles contrairement à Lambda.

2) Pourriez-vous m'indiquer un tutoriel ou une référence très didactique sur une théorie des modèles

Pas facile, la théorie des modèles est très peu vulgarisée ; il ya un an ou deux j'avais trouvé "Basic Model Theory" par Harold Simmons, sur le Net : http://www.cs.man.ac.uk/~hsimmons/MODEL-THEORY/BMT.pdf

qui me permettrait d'apprendre à démontrer moi-même la consistance de ma théorie?

Pour prouver la consistance d'une théorie, vous n'avez pas besoin de connaître beaucoup de théorie des modèles, il "suffit" de trouver un modèle (c'est le cas d'Ackermann), ou bien d'être capable de contruire un modèle (éventuellement hypothétique) d'une théorie à partir d'un modèle d'une autre théorie (par exemple construire un modèle ZF + AC, à partir d'un modèle de ZF).

également une référence sur la modélisation de la théorie d'Ackerman?

Le modèle d'Ackermann est un modèle de ZFC - axiome de l'infini. Vous le trouverez, très bien décrit : là http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy...ornoyChap9.pdf

[invitecf3725df]

Vous avez-raison, l'ensemble vide n'appartient pas à tous les ensembles contrairement à Lambda.

Pas facile, la théorie des modèles est très peu vulgarisée ; il ya un an ou deux j'avais trouvé "Basic Model Theory" par Harold Simmons, sur le Net : http://www.cs.man.ac.uk/~hsimmons/MODEL-THEORY/BMT.pdf

Pour prouver la consistance d'une théorie, vous n'avez pas besoin de connaître beaucoup de théorie des modèles, il "suffit" de trouver un modèle (c'est le cas d'Ackermann), ou bien d'être capable de contruire un modèle (éventuellement hypothétique) d'une théorie à partir d'un modèle d'une autre théorie (par exemple construire un modèle ZF + AC, à partir d'un modèle de ZF).

Le modèle d'Ackermann est un modèle de ZFC - axiome de l'infini. Vous le trouverez, très bien décrit : là http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy...ornoyChap9.pdf

Merci beaucoup, je vais lire ça attentivement;
j'espère à bientôt

[invitecf3725df]

Bonjour,

Petite avancée, je pense

Je tiens les mots objet, élément et chose pour synonymes, et par conséquent les combinaisons d'un des préfixes "pré-", "anté-" ou "pseudo-" avec chacun de

ces mots comme synonymes également.

Pour définir la notion de pseudo-objet/anté-élément/pré-élément dénotée par Lambda, il faut d'abord que je définisse celle d'objet. Je me sers des

définitions standard d'ensemble et de classe.



x est un "objet" x est un ensemble;

est un ensemble est une classe et

est une classe

est un "pseudo-objet" est un objet

Autrement dit, un "pseudo-objet" appartient à tout objet

cela signifie que le pseudo-objet appartient à l'ensemble vide; et ce qui appartient à l'ensemble vide ne peut être que le vide!

or par l'axiome du vide, Lambda appartient à tout ensemble et fait bien partie de la théorie Lambda-1;

Lambda est d'ailleurs le seul x qui appartient à tout ensemble;

donc, plutôt que de dire que la théorie Lambda-1 traite deux types d'objets, on dira qu'elle traite du type ensemble (objet) et du type vide (pseudo-objet)

Qu'en pensez-vous?

p.s. je poursuis la lecture très instructive et stimulante de Simmons

[Médiat]

Bonjour,

x est un "objet" x est un ensemble;

Mathématiquement, le mot objet est donc inutile puisque c'est le synonyme absolu de "ensemble".

est un ensemble est une classe et

Définition conforme à la théorie NBG, pourquoi pas (on peut se passer des schémas d'axiomes, cette théorie étant finiment axiomatisable, mais ce n'est pas gratuit ).

est une classe

Avece NBG c'est plus simple puisque tout est une classe.

est un "pseudo-objet" est un objet

Pour résumer, vous considérer une théorie avec un symbole de Prédicat unaire C, donc la signification est C(x) = x est une classe, et non C(x) = x est une pseudo classe (j'aime mieux que pseudo objet ou même pseudo ensemble).
Avec les axiomes de NBG (éventuellement remaniés) et la définition de NBG remaniée elle aussi :

cela signifie que le pseudo-objet appartient à l'ensemble vide; et ce qui appartient à l'ensemble vide ne peut être que le vide!

Je ne comprends pas ce qui vous permet d'affirmer cela, et si c'est un axiome alors vous êtes en train de dire que , ce qui est contradictoire avec vos autres définitions

Lambda est d'ailleurs le seul x qui appartient à tout ensemble;

L'unicité est un axiome supplémentaire ? Si oui, je ne vois pas ce qu'apporte cette vision par rapport à l'introduction d'un nouveau symbole de constante dont nous avons déjà discuté ...

donc, plutôt que de dire que la théorie Lambda-1 traite deux types d'objets, on dira qu'elle traite du type ensemble (objet) et du type vide (pseudo-objet)

Ben en fait ce que vous décrivez traite de 3 types d'objets : Les classes, les ensembles, les pseudos objets (pour reprendre votre vocabulaire).

[invite6754323456711]

Bonsoir,

2) Pre truth value

Si ma logique d'ordre 0 est pertinente, une formule vide n'a pas de valeur de vérité, mais précisément la "pré-valeur" Vide, qui doit bien être distinguée de la "valeur" "ni vrai ni faux" qui est elle relative au vrai et au faux; le Vide est le degré 0 des valeurs de vérité


3) Empty formula (pas dans le sens chaîne vide de caractère)

Une formule dont la "pré-valeur de vérité" est "le Vide" (sémantiquement "antérieure" au Vrai et au Faux)


5) Sub-thing

Si un ensemble est une chose, le vide/potentiel est un degré en dessous en termes d'existence


6) pre-element

Même observation : si un ensemble est un élément, le vide/potentiel est un pré-élément

7) pseudo object

le vide n'étant bien sûr pas un objet, mais néanmoins pris en compte par ma théorie, j'en fais un "pseudo-objet"

Cela me fait penser à la prise en compte de zéro comme entier naturel.

Pas facile, la théorie des modèles est très peu vulgarisée ; il ya un an ou deux j'avais trouvé "Basic Model Theory" par Harold Simmons, sur le Net : http://www.cs.man.ac.uk/~hsimmons/MODEL-THEORY/BMT.pdf

L'article est très intéressant. Pourquoi n'y a t-il, pas plus de vulgarisation sur le sujet ?

Patrick