Polynômes

[invite3424b43e]

Bonsoir,

Je me permet de vous solliciter car vous êtes toujours de bon conseil. J'ai un exo à faire, du calcul brut, et je vous avoue ne pas y arriver.
Le voici, j'ai fait la plupart des questions sauf celles-ci où je bloque :

- m, n, p entiers. Montrer que divise
- réel, n entier, déterminer le reste de la division euclidienne de par
- Déterminer le rester de la d.e. de par (X-2)².

Ces 3-ci je ne vois même pas comment faire, j'ai tenté un peu des petites choses mais j'arrive toujours sur des choses monstrueuses...
Puis :

- Calculer les primitives suivantes


Pour la première j'ai essayé Bioche, mais j'ai des racines qui ne se simplifient pas... Pour la seconde je l'ai décomposé en somme de deux fractions (de par la nature du dénominateur), la première j'ai le même problème, des racines qui ne s'annulent pas, pour la deuxième fraction j'arrive à devoir calculer au coefficient près mais je ne sais pas comment continuer, j'ai tenté de factoriser le polynôme mais pareil...

Merci pour vos conseils, j'ai juste besoin de quelques indications
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[invite3424b43e]

Mes primitives n'ont pas marché, ce sont des fractions...

[invitebfd92313]

pour les polynômes, dans les 3 cas il faut écrire formellement la division euclidienne puis évaluer en des points habilement choisis. La 3e est un peu différente, je te laisse voir en quoi.
Pour les intégrales, as-tu bien pensé que dans la règle de bioche il fuat aussi prendre en compte le dx ? Sachant que si la règle de bioche ne marche pas le changement x = tan(t/2) fonctionne toujours pour les fractions trigonométriques. (les calculs sont certes bien plus gores mais des fois y'a pas le choix )

[invite3424b43e]

Je vais réessayer pour les polynômes, par contre je ne vois pas en quoi la troisième est différente, si ce n'est qu'il y a un terme commun..
J'ai essayé avec le tg(x/2) mais rien ne se simplifie, ou quand ça se simplifie, impossible de mettre la main sur une décomposition simple ! Et oui, je prenais bien en compte le dx avec

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3424b43e]

Ah oui non d'accord, moi je partais avec la division euclidienne qu'on pose... Effectivement c'est tout de suite plus simple, et pour la troisième je déterminais en évaluant aussi en 2 dans la dérivée, j'imagine !

Reste à gratter les primitives que je ne trouve pas !

[invitebfd92313]

donc pour la première primitive en posant t = sinx j'en viens à intégrer (2-3t^2+t^4)/(t^2 + t^4) le dénominateur se réécrit t²(t²+1) donc ca se décompose très bien en éléments simples.

pour la 2e, en posant t=tanx/2 je trouve (1-2t-t^2)/(t^4-2t^2+2)
le dénominateur est un polynôme du second degré en t², donc il se factorise facilement et décomposition en éléments simples ...

meme si j'ai 1 ou 2 erreurs de calcul ca donne quelque chose qu'on sait faire de toute façon. Les calculs sont pas très intéressants.

[invite3424b43e]

D'accord je continue tout ça alors, merci de ton aide

[inviteaf1870ed]

Pour le premier polynome, il suffit de constater que j et j² sont racines (j est la racine cubique de l'unité, qui vérifie 1+j+j²=0)

[invite3424b43e]

mais pour la première primitive en posant t=sinx, pourquoi ?

puisque w(x) n'est pas ) égal à w(Pi-x) ?

[invitebfd92313]

eh bien si, en pi-x les cosinus changent de signe, et avec les puissances impaires le tout change de signe, et comme le dx se transforme en -dx, le tout reste inchangé.