Polynomes

[invitea2ba4887]

Bonjour,
J'ai un petit souci avec les polynomes (programme de 1ièreS). D'après ce que j'ai compris (Tapez pas j'apprend toute seule), il y a trois manières de factoriser les polynomes :
- par les racines
- par Delta
- par les produits remarquables.
J'aurais deux questions : Primo, est-il possible qu'en passant par delta on puisse trouver une factorisation différente de celle obtenue par la racine ? Autrement dit, pour un polynome donné, peut-il y avoir plusieurs factorisations possibles ? (Sinon, c'est que je fais des erreurs de calcul). Secundo, quand on cherche une racine, mis à part le cas des racines 1 et -1, on y va vraiment par tâtonnement successif, avec 2, -2 etc ? Où il y a une méthode (pas trouvée et non indiquée sur le bouquin de maths). Si c'est vraiment par tâtonnement, il me semble que c'est quand même plus simple de rentrer le polynome comme une fonction dans une calculette classique, et de repérer où y=0 et de prendre ce chiffre comme racine.
Merci de vos réponses.
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[tuan]

Bonjour,
Je serai long…
Préliminaires:
Si je dois écrire 60 sous forme de produit de facteurs le plus long ou détaillé possible (je compte pas les 1 et je parle même pas des nombres premiers) j'écrirai 60=2.2.3.5.
Une autre forme possible ? oui 60=5.3.2.2 par exemple, c'est pareil ou non selon le point de vue…
60=2.3.10 c'est aussi un produit des facteurs… Mais là, on peut faire mieux avec le facteur 10.

Polynômes en produits des facteurs
Pour simplifier je ne parle que d'un polynôme algébrique avec des nombres réels et avec la seule lettre x comme variable.

D'abord justement… x est variable, il peut y avoir certaines valeurs particulières de x qui rendent nul le polynôme (on les appelle des zéros). Si n est le degré du polynôme (il y a le terme xⁿ à coefficient non nul) il y a toujours n zéros réels ou/et imaginaires. Si on ne compte pas des imaginaires le nombre de zéros est donc < n

Ensuite, si le polynôme peut être écrit en produit de facteurs (…factorisable) il suffira qu'un seul facteur soit nul pour rendre nul le polynôme. Dans ce cas, ce facteur qui peut être nul est donc aussi un "petit" polynôme (de degré inférieur à n) ayant le même zéro que le polynôme "père".

Tout çà pour vous dire que si vous comptez tous les zéros possibles (réels et imaginaires) on peut écrire un polynôme de degré n sous UNE SEULE FORME de produit de n "petits" polynômes facteurs.

Exemples:
x² –5x +6 = (x-2)(x-3) , les 2 zéros sont 2 et 3
x² –6x +9 = (x-3)(x-3) = (x-3)² , les 2 zéros sont 3 compté en double
x² + 25 = (x-i5)² , les 2 zéros sont i5 compté en double (i² = -1 par convention)

De ces 3 exemples ci-dessus, on tire quelques remarques:
- si vous ne voulez pas des zéros imaginaires (avec les i), le 3e exemple n'est pas factorisable;
- si vous connaissez par cœur les produits remarquables, la résolution de l'exemple 2 est immédiate et vous n'avez pas besoin de passer par "delta". Mais rien n'empêche de passer par delta d'office pour ne pas se casser la tête.
- si vous ne voyez pas tout de suite une résolution rapide devant un exercice, prenez tout de suite la méthode générale s'il y en a et ça marchera toujours, et quelle que soit la méthode l'ensembe des zéros d'un polynôme est unique.

Autre remarques
1) pour les polynômes d'un degré élevé comme 3,4, par coutume les enseignants proposent souvent ceux qui ont un zéro égal à 1 ou –1 ou (cas des "méchants" prof.) 2 ou –2, pas plus.
2) Si le polynôme apparaît comme le 1er membre d'une équation (avec le second membre égal à 0), on peut éventuellement "ajouter" un facteur non nul pour "alléger" l'écriture…
Exemple:
Si les 2 zéros sont ½ et –3 je peux écrire
(x-1/2)(x+3) = 0 ou
(2x –1)(x+3)=0 , c'est pareil.
Cordialement

[invitea2ba4887]

Ok, merci pour l'explication. C'est moi qui fait (encore) des erreurs de calcul.
(Par contre, je jure que le bouquin d'exos que j'ai pris à la bib' donne comme racine évidente des -3).
Merci encore, parce que toute seule avec un bouquin qui détaille pas vraiment les calculs, c'est pas évident.

[tuan]

Ok, merci pour l'explication. C'est moi qui fait (encore) des erreurs de calcul.
(Par contre, je jure que le bouquin d'exos que j'ai pris à la bib' donne comme racine évidente des -3).
Merci encore, parce que toute seule avec un bouquin qui détaille pas vraiment les calculs, c'est pas évident.

Oh... le méchant prof.

[A voir en vidéo sur Futura]