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exo spé sur congruences



  1. #1
    Apprenti-lycéen

    exo spé sur congruences


    ------

    Salut à tous,

    Je révise pour un contrôle Bilan de spé et voilà qu'un exo que je pense avoir déjà fait me pose probleme:

    Trouver suivant les valeurs de n, les restes de la division de par , bon ca sent super fort les congruences, mais je n'arrive pas à le démarrer, une piste serait la bienvenue... merci d'avance.

    PS: ce qui me gène est l'inconnue à la puissance ;(

    -----

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  3. #2
    mx6

    Re : exo spé sur congruences

    c'est absurde cet exo , tu peux avoir tout sorte de reste allant de 0 à 12.... ou peut être j'ai pas capté la fibre

  4. #3
    VegeTal

    Re : exo spé sur congruences

    un exercice classique.

    il faut trouver l'ordre de 5 modulo 13, c'est à dire l'unique naturel tel que ensuite il suffit d'étudier le reste des valeurs du cycle.

    un exemple facile pour voir :

    par 9 donc donc on dit que 6 est l'ordre de 2 modulo 9.

    ensuite on remarque que la congruence a un cycle de 6. il suffit alors d'étudier les restes aux rangs 6n+1 ; 6n+2 ... 6n+5 .

    demande si tu veux des explications plus claire
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  5. #4
    Apprenti-lycéen

    Re : exo spé sur congruences

    Ok. J'admets être un peu troublé. L'ordre j'en avais jamais entendu parler.

    Dans mon exemple il serait 4 si j'ai bien suivi car congru à
    Mais je ne saisi pas bien en ce qui concerne les cycles, je veux bien de plus amples explications ...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    VegeTal

    Re : exo spé sur congruences

    4 oui !

    donc d'où jusque là tu me suis ?

    ton cycle est de 4, c'est à dire qu'il y a au maximum 4 restes possibles.

    il suffit de donner la valeur des restes de ; et car .

    et ainsi de suite, donne tes réponses pour contrôler.

    nota : un ordre de 4, tu as eu de la chance, mon exemple avec le 2 l'ordre était de 6
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  8. #6
    Apprenti-lycéen

    Re : exo spé sur congruences

    Je te remercie c'est bien plus clair et ca à l'air enfantin maintenant
    En ce qui concerne les calculs, ma calculette est une bosseuse ^^
    elle dit que pour :
    4n+1, r=5
    4n+2, r=12
    4n+3, r=8

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  10. #7
    mx6

    Re : exo spé sur congruences

    Ah désolé pour mon dernier post, j'ai pas vu le 5^n s'affichait !! peut être un bug de latex !!
    Oui oui cet exo est classique !
    Je vous file un très banal :
    Prouver que pour tout n , 6^n = 6 mod10

  11. #8
    VegeTal

    Re : exo spé sur congruences

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Ah désolé pour mon dernier post, j'ai pas vu le 5^n s'affichait !! peut être un bug de latex !!
    Oui oui cet exo est classique !
    Je vous file un très banal :
    Prouver que pour tout n , 6^n = 6 mod10


    on prend quel méthode ? je te charrie
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  12. #9
    Apprenti-lycéen

    Re : exo spé sur congruences

    J'essaie tout de suite !

  13. #10
    Flyingsquirrel

    Re : exo spé sur congruences

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    il faut trouver l'ordre de 5 modulo 13, c'est à dire l'unique naturel tel que
    Défini comme ça l'ordre n'est pas unique puisque si alors , ...
    Dernière modification par Flyingsquirrel ; 29/01/2009 à 19h47.

  14. #11
    mx6

    Re : exo spé sur congruences

    Essaye de faire autrement c'est compliqué :d

  15. #12
    Apprenti-lycéen

    Re : exo spé sur congruences

    Ok ce que j'ai fait est un peu bidon et je suis sûr qu'il y a plus élégant mais par récurrence je montre que le chiffre des unités de 6^n est 6 pour tout n de N non nul, or comme tout nombre décimal sécrit sous la forme 10(....) [la flemme d'écrire bien mais sinon j'aurais rédigé avec sigma patati patata] le résultat en découle...

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  17. #13
    VegeTal

    Re : exo spé sur congruences

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Défini comme ça l'ordre n'est pas unique puisque si alors , ...
    j'ai oublié l'adjectif plus petit entier naturel strictement positif
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  18. #14
    mx6

    Re : exo spé sur congruences

    Mais non Apprenti !
    On suppose que 6^n = 6 mod10
    Alors 6^(n+1) = 6^n x 6
    Soit 6^n = 36 = 6 mod 10

    pas plus simple

  19. #15
    Apprenti-lycéen

    Re : exo spé sur congruences

    Bah c'est exactement ce que j'ai fait mais dans le cadre de la récurrence, je suis pas sûr d'être en droit de "supposer" comme ca si?

    Ce que je veux dire c'est que comme tout nombre s'écrit xx
    je montre juste que pour tout
    Dernière modification par Apprenti-lycéen ; 29/01/2009 à 20h48.

  20. #16
    mx6

    Re : exo spé sur congruences

    Hein ??
    Je te renvoi au cours sur la réccurence !

  21. #17
    Apprenti-lycéen

    Re : exo spé sur congruences

    Je comprends pas où c'est faux dans mon raisonnement ?

  22. #18
    mx6

    Re : exo spé sur congruences

    Je ne vois pas ou tu en venir, oui tout nombre peut s'écrire à base de 10 mais encore ?

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  24. #19
    Apprenti-lycéen

    Re : exo spé sur congruences

    En gros, je montre par récurrence que le chiffre des unités de tout nombre de la forme est ce qui justifie que est congru à mod pour tout naturel non nul

  25. #20
    Apprenti-lycéen

    Re : exo spé sur congruences

    Sérieux tu me fais flipper, j'ai peut-être fait long mais c'est juste au moins? Je veux dire j'ai pas écrit d'aberration (d'ailleurs mon prof de spé trouve toujours le temps pour me le signaler lui ^^)

  26. #21
    VegeTal

    Re : exo spé sur congruences

    ouais, tu peux faire comme ça, mais la récurrence de mx6 est plus simple
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  27. #22
    Apprenti-lycéen

    Re : exo spé sur congruences

    Rhaaa mais attendez y a quiproquo là
    J'avais pas pigé que mx6 faisait de la récurrence , j'ai bien fait comme toi avec 36 congru à 6 [10] mais comme ma proposition était tout nombre de la forme 6^n a un chiffre des unités = à 6 je me suis vu obligé après de justifier par l'écriture décimale, c'tout

    Maintenant je suis tout à fait d'accord que mon bricolage fait un peu concon alors qu'il sufisait de poser Pn : 6^n congru à 6 mod 10

    PS : vous allez me prendre pour un boulet mais c'est juste la fatigue ^^

  28. #23
    mx6

    Re : exo spé sur congruences

    Allez Apprenti rattrape toi sur celui la !

    Soit , la suite définie sur par. Déterminer le nombre de carrés parfaits parmi les 2007 premiers termes de cette suite.

  29. #24
    Apprenti-lycéen

    Re : exo spé sur congruences

    Ok à l'attaque !

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