[TS spé] Congruences

[invitef3dd8bd8]

Bonsoir à tous ! J'aurai besoin de vos lumières pour m'éclairer sur un petit extrait d'exercice de spé =)
J'aimerais avoir vos avis sur les différentes réponses et aussi me donner quelques pistes pour la dernière question
Alors :
-Si a congu à b [7]et c congru à d [7] alors
ac congru à bd [7] (E)
En déduire que a^n congru à b^n [7]
Ma réponse:
a^n=a*a^(n-1) et b^n=b*b^(n-1)
comme a congu à b prenons b^(n-1) congru à a^(n-1) alors
a^(n-1)*a congru à b*b^(n-1)
d'après (E)
a^n congru à b^n


-a^6 congru à 1 [7]
on appelle ordre de a modulo 7 et on désigne par k le plus petit entier naturel non nul tel que a^k congru à 1 [7]
Montrez que le reste r de la division euclidienne de 6 par k vérifie a^r congru à 1 [7]
Ma réponse :
6 congru à r [7]
donc a ^6 congru à a^r [7]
mais a^6 congru à 1 [7]
donc a^r congru à a [7]

-En déduire que k divise 6
Ma réponse : Aucune idée

Merci aux gens qui prendront le temps de lire
-----

[bubulle_01]

Que implique pour le fait que soit divisible par ?

[invited622d663]

Par récurrence pour ta première question:

Soit n€N; Supposons que a^n congru à b^n [7]

alors a^n congru à b^n [7]
a congru à b [7]

ce qui donne a^(n+1) congru a b^(n+1) [7]

Donc vérifié au rang n+1




Second question:

a^k congru à 1 [7]

Tu sais que 6 = qk+r

et a^6 congru à 1 [7]


Je t'ai donné le nécessaire pour faire le début essaye de faire tout seul

[invitef3dd8bd8]

r=0
Pour Bubulle
Mais comment on peut déduire ça de la réponse d'avant =S

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef3dd8bd8]

Par récurrence pour ta première question:

Soit n€N; Supposons que a^n congru à b^n [7]

alors a^n congru à b^n [7]
a congru à b [7]

ce qui donne a^(n+1) congru a b^(n+1) [7]

Donc vérifié au rang n+1




Second question:

a^k congru à 1 [7]

Tu sais que 6 = qk+r

et a^6 congru à 1 [7]


Je t'ai donné le nécessaire pour faire le début essaye de faire tout seul

Merci =)
Pour la première question au lieu de faire la récurrence yaurait pas un "moyen" de le déduire de la propriété ?jpensais aussi à la récurrence mais yavait marqué en deduire

[bubulle_01]

Comme a écrit stross dans son post :
avec (d'après la division euclidienne de par ).
Tu peux ensuite déduire la réponse à la question

[invitef3dd8bd8]

Comme a écrit stross dans son post :
avec (d'après la division euclidienne de par ).
Tu peux ensuite déduire la réponse à la question

Je suis pas du tout sure mais tant pis j'aurai essayé
6=kq+r
a^6=a^(kq+r)
a^6 congru à 1 [7]

donc a^6 congu à a^(kq+r) [7]
a^6 congru à 1
donc a^(kq+r) congru à 1
a^(kq)*a^r congru à 1 [7]
mais a^k congru à 1 donc a^r congru à 1 [7]

[invited622d663]

Merci =)
Pour la première question au lieu de faire la récurrence yaurait pas un "moyen" de le déduire de la propriété ?jpensais aussi à la récurrence mais yavait marqué en deduire

Si justement c'est une déduction regarde dans la second partie de ma récurrence :

a^n congru à b^n [7]
a congru à b [7]
-----------------------
a^(n+1) congru a b^(n+1) [7]


Si tu regardes ce que tu as déjà écrit c'est une déduction de la question précédente.



A propos de r maintenant :


Tu sais que r<k ; sachant que k est le plus petit entier naturel non nul

Tu déduis donc que r=0

Donc avec ce que j'ai écrit et ce que a écrit bubulle_01 avant tu peux normalement le faire

[invitef3dd8bd8]

Si justement c'est une déduction regarde dans la second partie de ma récurrence :

a^n congru à b^n [7]
a congru à b [7]
-----------------------
a^(n+1) congru a b^(n+1) [7]


Si tu regardes ce que tu as déjà écrit c'est une déduction de la question précédente.



A propos de r maintenant :


Tu sais que r<k ; sachant que k est le plus petit entier naturel non nul

Tu déduis donc que r=0

Donc avec ce que j'ai écrit et ce que a écrit bubulle_01 avant tu peux normalement le faire

Ahhhhh j'ai compris pour le 1) merciiiii

[invited622d663]

Je suis pas du tout sure mais tant pis j'aurai essayé
6=kq+r
a^6=a^(kq+r)
a^6 congru à 1 [7]

donc a^6 congu à a^(kq+r) [7]
a^6 congru à 1
donc a^(kq+r) congru à 1
a^(kq)*a^r congru à 1 [7]
mais a^k congru à 1 donc a^r congru à 1 [7]

C'est ça !

Le post précédent fut envoyé en même que le tiens donc pour faire la suite regarde ce que j'ai écrit juste avant

[bubulle_01]

Il suffit juste de résoudre, pour tout entiers naturels et tel que :

[invitef3dd8bd8]

D'accord ^^ ben merci encore =)

[bubulle_01]

Oui oui, ce bidouillage est correct