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[TS spé] Congruences



  1. #1
    a91

    [TS spé] Congruences

    Bonsoir à tous ! J'aurai besoin de vos lumières pour m'éclairer sur un petit extrait d'exercice de spé =)
    J'aimerais avoir vos avis sur les différentes réponses et aussi me donner quelques pistes pour la dernière question
    Alors :
    -Si a congu à b [7]et c congru à d [7] alors
    ac congru à bd [7] (E)
    En déduire que a^n congru à b^n [7]

    Ma réponse:
    a^n=a*a^(n-1) et b^n=b*b^(n-1)
    comme a congu à b prenons b^(n-1) congru à a^(n-1) alors
    a^(n-1)*a congru à b*b^(n-1)
    d'après (E)
    a^n congru à b^n



    -a^6 congru à 1 [7]
    on appelle ordre de a modulo 7 et on désigne par k le plus petit entier naturel non nul tel que a^k congru à 1 [7]
    Montrez que le reste r de la division euclidienne de 6 par k vérifie a^r congru à 1 [7]

    Ma réponse :
    6 congru à r [7]
    donc a ^6 congru à a^r [7]
    mais a^6 congru à 1 [7]
    donc a^r congru à a [7]


    -En déduire que k divise 6
    Ma réponse : Aucune idée

    Merci aux gens qui prendront le temps de lire

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    bubulle_01

    Re : [TS spé] Congruences

    Que implique pour le fait que soit divisible par ?

  4. #3
    stross

    Re : [TS spé] Congruences

    Par récurrence pour ta première question:

    Soit n€N; Supposons que a^n congru à b^n [7]

    alors a^n congru à b^n [7]
    a congru à b [7]

    ce qui donne a^(n+1) congru a b^(n+1) [7]

    Donc vérifié au rang n+1




    Second question:

    a^k congru à 1 [7]

    Tu sais que 6 = qk+r

    et a^6 congru à 1 [7]


    Je t'ai donné le nécessaire pour faire le début essaye de faire tout seul

  5. #4
    a91

    Re : [TS spé] Congruences

    r=0
    Pour Bubulle
    Mais comment on peut déduire ça de la réponse d'avant =S

  6. #5
    a91

    Re : [TS spé] Congruences

    Citation Envoyé par stross Voir le message
    Par récurrence pour ta première question:

    Soit n€N; Supposons que a^n congru à b^n [7]

    alors a^n congru à b^n [7]
    a congru à b [7]

    ce qui donne a^(n+1) congru a b^(n+1) [7]

    Donc vérifié au rang n+1




    Second question:

    a^k congru à 1 [7]

    Tu sais que 6 = qk+r

    et a^6 congru à 1 [7]


    Je t'ai donné le nécessaire pour faire le début essaye de faire tout seul
    Merci =)
    Pour la première question au lieu de faire la récurrence yaurait pas un "moyen" de le déduire de la propriété ?jpensais aussi à la récurrence mais yavait marqué en deduire

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    bubulle_01

    Re : [TS spé] Congruences

    Comme a écrit stross dans son post :
    avec (d'après la division euclidienne de par ).
    Tu peux ensuite déduire la réponse à la question

  9. Publicité
  10. #7
    a91

    Re : [TS spé] Congruences

    Citation Envoyé par bubulle_01 Voir le message
    Comme a écrit stross dans son post :
    avec (d'après la division euclidienne de par ).
    Tu peux ensuite déduire la réponse à la question
    Je suis pas du tout sure mais tant pis j'aurai essayé
    6=kq+r
    a^6=a^(kq+r)
    a^6 congru à 1 [7]

    donc a^6 congu à a^(kq+r) [7]
    a^6 congru à 1
    donc a^(kq+r) congru à 1
    a^(kq)*a^r congru à 1 [7]
    mais a^k congru à 1 donc a^r congru à 1 [7]

  11. #8
    stross

    Re : [TS spé] Congruences

    Citation Envoyé par a91 Voir le message
    Merci =)
    Pour la première question au lieu de faire la récurrence yaurait pas un "moyen" de le déduire de la propriété ?jpensais aussi à la récurrence mais yavait marqué en deduire
    Si justement c'est une déduction regarde dans la second partie de ma récurrence :

    a^n congru à b^n [7]
    a congru à b [7]
    -----------------------
    a^(n+1) congru a b^(n+1) [7]


    Si tu regardes ce que tu as déjà écrit c'est une déduction de la question précédente.



    A propos de r maintenant :


    Tu sais que r<k ; sachant que k est le plus petit entier naturel non nul

    Tu déduis donc que r=0

    Donc avec ce que j'ai écrit et ce que a écrit bubulle_01 avant tu peux normalement le faire

  12. #9
    a91

    Re : [TS spé] Congruences

    Citation Envoyé par stross Voir le message
    Si justement c'est une déduction regarde dans la second partie de ma récurrence :

    a^n congru à b^n [7]
    a congru à b [7]
    -----------------------
    a^(n+1) congru a b^(n+1) [7]


    Si tu regardes ce que tu as déjà écrit c'est une déduction de la question précédente.



    A propos de r maintenant :


    Tu sais que r<k ; sachant que k est le plus petit entier naturel non nul

    Tu déduis donc que r=0

    Donc avec ce que j'ai écrit et ce que a écrit bubulle_01 avant tu peux normalement le faire
    Ahhhhh j'ai compris pour le 1) merciiiii

  13. #10
    stross

    Re : [TS spé] Congruences

    Citation Envoyé par a91 Voir le message
    Je suis pas du tout sure mais tant pis j'aurai essayé
    6=kq+r
    a^6=a^(kq+r)
    a^6 congru à 1 [7]

    donc a^6 congu à a^(kq+r) [7]
    a^6 congru à 1
    donc a^(kq+r) congru à 1
    a^(kq)*a^r congru à 1 [7]
    mais a^k congru à 1 donc a^r congru à 1 [7]




    C'est ça !

    Le post précédent fut envoyé en même que le tiens donc pour faire la suite regarde ce que j'ai écrit juste avant

  14. #11
    bubulle_01

    Re : [TS spé] Congruences

    Il suffit juste de résoudre, pour tout entiers naturels et tel que :

  15. #12
    a91

    Re : [TS spé] Congruences

    D'accord ^^ ben merci encore =)
    Dernière modification par a91 ; 27/02/2008 à 20h24.

  16. Publicité
  17. #13
    bubulle_01

    Re : [TS spé] Congruences

    Oui oui, ce bidouillage est correct

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