TS Spé congruences et divisiblité

[invite2012404b]

bon voila je bug un peu sur un exo de mon dm besoin de lumiere^^:
montrer que pour tout n appartenant a N*:
7 divise 3^(4n+2) + 5^(2n+1) on me donne une indication stipulant faire un raisonnement par récurrence sur n or ici je vois pas trop a quoi aboutirait une récurrence bref en tout les cas je ne sais pas par ou débuter je me suis dit que peut etre que le but final serait a la fin d'ajouter des congruences pour retrouver ce qu'il y a marqué ci dessus c'est a dire 3^(4n+2) + 5^(2n+1) congru a 0 modulo 7 donc le faire en 2 parties avec d'abord 3^(4n+2) puis avec 5^(2n+1) mais bon je vois pas trop comment amorcer l'exercice voila si vous pouviez juste me donner le coup de pouce de départ merci d'avance^^
-----

[invitea250c65c]

Salut !

Juste un petit truc que je vois dans ce cas la :
Si tu poses N=2n+1.
Ca revient a montrer que (mod. 7).
Or (mod.7) et (mod. 7).
Donc quand tu vas elever a la puissance, sachant que N est impair (N=2n+1) ca va très vite se simplifier au niveau de tes congruences.

Bon, c'est une petite astuce, mais c'est possible de faire ca de facon beaucoup moins tordue (je veux dire tu n'es pas du tout obligé d'introduire N=2n+1 pour y arriver), mais la ca fait gagner du temps donc si on l'a vu pourquoi s'en priver.

A+

Edit: Euh oui la recurrence ca sert pas a grand chose ici.

[invite2012404b]

oww yeaaah good l'astuce merci beaucoup!!! par contre je bug pour le suivant 7 divise 3^(3n) + 2x5^(3n-1) parce que là refaire le même schéma que l'exercice précédent est impossible T_T je sais que la j'en demande encore mais quand on est bloquée..

[invitea250c65c]

Edit: Euh oui la recurrence ca sert pas a grand chose ici.

Je retire pardon bien sur qu'on peut le faire par récurrence mais en général au niveau des congruences je prepefere essayer de faire sans (quand on peut faire sans c'est en général plus rapide).
Donc pour le premier exo si on te demande de le faire par récurrence, il faut que tu le fasses par récurrence, apres rien ne t'emepeche d'ajouter a la fin "on remarque qu'il est facile de montrer que ... en posant N=2n+1 ..." , ca montrera que tu as cherché et que tu ne t'es pas limité a la consigne.

Apres pour ton deuxieme cas il s'agit de montrer que (mod. 7). Ce qui est plus génant ici c'est que tu as 3n-1 a la puissance, donc pour sortir le "-1" de ta puissance il va falloir diviser par 5 et en arithmétique les fractions ne sont pas beaucoup appréciées. J'ai jetté un coup d'oeil et je pense que ca doit pouvoir se faire en faisant encore un changement de variable (N=...) mais apres il faut faire une disjonction de cas (N pair/N impair ...) enfin bref la pour le coup il est plus commode d'utiliser la récurrence :
Soit P(n) la proposition (mod. 7).
Initialisation : tu montres que c'est vrai au premier rang, au rang 1 ici j'immagine.
Hérédité : je te laisse faire tu dois avoir l'habitude de la récurrence maintenant.

Si tu n'y arrives pas préviens moi.

Si quelqu'un voit une astuce pour celui la je suis interessé.

A+

[A voir en vidéo sur Futura]