Spé Maths DM congruences

[invitef4688192]

Petit problème
Je n'arrive pas du tout à faire ce DM
Besoin d'un peu d'aide pour débloquer ^^

Voilà l'énoncé:
1) Etude de l'équation d'inconnue x : x² + 9 = 2ⁿ
avec n > ou = 4
a) Montrer que si x existe, x est impair
b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.

2) Etude de l'équation d'inconnue x : x² + 9 = 3ⁿ
avec n > ou = 3
a) Montrer que si n> ou = 3, 3* est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
b) Montrer que si x existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c) On pose n = 2p où p est un entier naturel, p > ou = 2
Déduire d'une factorisation de 3ⁿ - x² que l'équation proposée n'a pas de solution.



Peut-on répondre à la première question par des calculs? ou faut-il simplement l'expliquer de manière logique? car 2ⁿ étant pair et 9 étant impair x² ne peut être que impair...

Pour les autres questions je n'y arrive vraiment pas...

Merci d'avance
-----

[invite2220c077]

Pour la question 1) b), montre que tout carré est congru soit à 0 mod 4 si ce carré est pair, soit à 1 mod 4 s'il est impair. Utilise ce résultat pour en déduire une contradiction dans ton équation.

[invitecb6f7658]

Pour la toujours, ne peut-on pas également montrer que est congru à un impair ce qui ne peut être le cas de?

edit: en fait ca revient un peu au même au temps pour moi...

[invitef4688192]

Pour la toujours, ne peut-on pas également montrer que est congru à un impair ce qui ne peut être le cas de?

edit: en fait ca revient un peu au même au temps pour moi...

Merci
J'ai fais plusieurs calculs et je m'embrouille un peu...
mais voilà ce que j'ai fais :

3 est congru à -1 [4]
3² est congru à (-1)² [4)
Donc 9 est congru à 1 [4]

et pour tout x impair
x congru 1 [4]
x² congru 1 [4]

Mais j'aimerai savoir si on peut dire directement que pour tout nombre x impair x est congru à 1 [4] ou peut-on le prouver avec les congruences?

Ensuite on a donc x² + 9 congru à 2 [4]

et pour 2ⁿ on a
2 congru 1 [4]
2ⁿ congru 1ⁿ [4]
2ⁿ congru 1 [4]

Donc jusqu'ici j'ai prouver que x²+9 est congru à un nombre pair [4]alors que 2n est congru à un nombre impair [4]

Et là je suis bloqué... je ne vois pas comment prouver à partir de ces résultats que cette équation n'a aucune solution...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecb6f7658]

a congru à b mod n signifie que a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n... Or deux nombre a priori égaux ont le même reste...

PS: dans mon précédent post j'ai confondu inversé pair et impair (enfin la il est tard et j'ai pas les yeux en face des trous, je corrigerai demain si besoin est).

[invitef4688192]

a congru à b mod n signifie que a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n... Or deux nombre a priori égaux ont le même reste...

PS: dans mon précédent post j'ai confondu inversé pair et impair (enfin la il est tard et j'ai pas les yeux en face des trous, je corrigerai demain si besoin est).

Merci bcp

[invitef4688192]

Merci
J'ai fais plusieurs calculs et je m'embrouille un peu...
mais voilà ce que j'ai fais :

3 est congru à -1 [4]
3² est congru à (-1)² [4)
Donc 9 est congru à 1 [4]

et pour tout x impair
x congru 1 [4]
x² congru 1 [4]

Mais j'aimerai savoir si on peut dire directement que pour tout nombre x impair x est congru à 1 [4] ou peut-on le prouver avec les congruences?

Ensuite on a donc x² + 9 congru à 2 [4]

et pour 2ⁿ on a
2 congru 1 [4]
2ⁿ congru 1ⁿ [4]
2ⁿ congru 1 [4]

Donc jusqu'ici j'ai prouver que x²+9 est congru à un nombre pair [4]alors que 2n est congru à un nombre impair [4]

Et là je suis bloqué... je ne vois pas comment prouver à partir de ces résultats que cette équation n'a aucune solution...

Je me suis rendu compte qu'il me manque des étapes...
Comment prouver que 2 est congru à 1 [4] ??
Et coment prouver qu'un nombre x impair est congru à 1 [4] ??

[invitef4688192]

Voilà l'énoncé, j'ai besoin qu'on me débloque un peu svp..

Etude de l'équation d'inconnue x : x² + 9 = 3ⁿ
a) Montrer que si n> ou =3, 3ⁿ est congru à 1 ou à 3 [4]
b) Montrer que si x existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair
c) On pose n = 2p où p est un entier naturel, p > ou =2
Déduire de la factorisation de 3ⁿ - a², que l'équation proposée n'a pas de solution

Alors pour le a) je n'y arrive pas du tout.. je ne vois pas par quoi commencer...
Pour la b) j'arrive à prouver que si x existe il est pair mais je n'arrive pas à en déduire que n doit être lui aussi pair...
Pour la c) Je trouve:
3ⁿ - a² = 9
3²^p - a² = 9
(3^p)² - a² = 9
(3^p - a)(3^p + a) = 9

et la je suis bloqué...


Merci d'avance =D

[MS.11]

Je t'aide pour la a)

C'est une méthode archi classique des congruences :



Selon la parité de n, . Puis tu réutilises le fait que

Retiens bien cette méthode ! Car tu n'as pas fini de l'utiliser !

[invitef4688192]

Je t'aide pour la a)

C'est une méthode archi classique des congruences :



Selon la parité de n, . Puis tu réutilises le fait que

Retiens bien cette méthode ! Car tu n'as pas fini de l'utiliser !

Merci bcp

je retiens la méthode

[invitef4688192]

quelqu'un pourrait m'aider pour le reste svp?


J'ai beau faire plein de calculs je n'arrive pas à trouver la solution...

[invitef4688192]

Bonsoir!!

Voilà l'énoncé
on a x² + 9 = 3ⁿ
a) montrer que si n ≥ 3 , 3ⁿ est congru à 1 ou à 3 modulo 4
b) Montrer que si x existe il est pair et en déduire que nécessairement n est pair
c) On pose n=2p où p est un entier naturel, p ≥2
Déduire d'une factorisation que l'équation proposée n'a pas de solution


J'ai réussi la a)
Pour la b) j'ai réussi à prouver que si x existe il est pair mais je n'arrive pas à en déduire que n est pair
Pour la c) j'ai fais:
3n - a² = 9
3²^p - a² = 9
(3^p)² - a² = 9
(3^p - a)(3^p + a) = 9
et la je bloque...

besoin d'un peu d'aide svp

[MS.11]

Tu dois utiliser le fait que neuf est le produit de 1et 9 ou de 3 et 3 dans N. Je ne sais pas si l'énoncé te situe dans N ou Z.

Après tu remarques que si 3^p - 1 vaut 1 alors 3^p + 1 ne vaut pas 9 mais 3 ; et de même avec 3 : si 3^p - 1 vaut 3 alors 3^p + 1 ne vaut pas 9 mais 5.

Donc il n'y a pas de solution.