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DM de maths sur les limites de fonctions (TS)



  1. #1
    hyaline00

    DM de maths sur les limites de fonctions (TS)


    ------

    Bonjour,
    J'ai des difficultés avec un DM, j'aurai besoin d'aide s'il vous plait. Je vous recopie l'énoncé.

    D'un satellite situé à la verticale de pôle nord, on observe la calotte terrestre. L'objet du problème est d'étudier la relation entre 'l’altitude et la distance de l'observation à l'horizon, en particulier pour des positions très proches ou très éloignées de la terre.

    I Relation algébrique entre l'altitude et la distance à l'horizon

    La Terre est assimilée à une sphère de centre C de rayon R = 6363 km. Dans la plan méridien, P désigne le pôle nord, O la position de l'observateur et H le point visé à l'horizon. On note en kms, x l'altitude OP et y la distance OH de l'observateur à l'horizon. Exprimer y en fonction de x
    J'ai trouvé que y= racine carrée(x²+12726x)

    II Etude d'une fonction f

    Dans la suite, on note f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)= racine carrée(x²+12726x). C est la courbe représentant f dans un repère.

    1/ L'observateur est très proche de la Terre

    a/ Etudier la limite de f(x)-racine carrée(12726x) en 0. Interprétez graphiquement le résultat.
    J'ai trouvé que la limite est 0, mais j'ai du mal pour l'interprétation. J'ai penssé qu'il pouvait y avoir une asymptote oblique, mais vu que ce n'est pas une fonction affine je doute que ca soit juste.

    b/ Démontrer que pour tout réel x de [0;1], racine carrée(12726x)≤f(x)≤ racine carrée(12727x). Interpréter graphiquement ces inégalités.
    J'arrive à racine carrée(12726x)≤f(x)≤ racine carrée(1+12726x).

    c/ Démontrer que pour tout réel x appartenant à ]0;1], racine carrée(12726/x)≤f(x)/x.
    En déduire la limite en 0 de la fonction f(x)/x. La courbe C admet-elle une tangente à l'origine?
    J'arrive à racine carrée(12726)/x≤f(x)/x .

    d/ Utiliser les résultats précédents pour donner une approximation de la distance à l'horizon lorsque l'altitude est de 10 mètres.

    2/ L'observateur est très éloigné de la Terre

    a/ Etudier la limite de f en +∞.
    Je trouve +∞.

    b/ Démontrer que pour tout réel x≥0, x≤f(x)≤x+6363.
    Interpréter graphiquement cet encadrement
    Je trouve f(x)≥ racine carrée(12726).

    c/ Démontrer que pour tout réel , f(x)-(x+6363) = (-6363²) / racine carrée(x²+12726x)+x+6363
    En déduire que lim [f(x)-(x+6363)]=0 quand x tend vers +∞. Interprétez graphiquement cette limite.
    Je trouve que la droite d'équation y=x+6363 est asymptote oblique à la droite.

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  3. #2
    Flyingsquirrel

    Re : DM de maths sur les limites de fonctions (TS)

    Salut,
    Citation Envoyé par hyaline00 Voir le message
    Exprimer y en fonction de x
    J'ai trouvé que y= racine carrée(x²+12726x)
    Je n'arrive pas à faire un dessin correct de la situation donc je ne peux pas dire si ton résultat est bon ou pas (la relation que tu trouves est quand même cohérente avec la suite de l'énoncé...). Si quelqu'un a le courage de faire un schéma, je suis preneur.
    II Etude d'une fonction f

    Dans la suite, on note f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)= racine carrée(x²+12726x). C est la courbe représentant f dans un repère.

    1/ L'observateur est très proche de la Terre

    a/ Etudier la limite de f(x)-racine carrée(12726x) en 0. Interprétez graphiquement le résultat.
    J'ai trouvé que la limite est 0, mais j'ai du mal pour l'interprétation. J'ai penssé qu'il pouvait y avoir une asymptote oblique, mais vu que ce n'est pas une fonction affine je doute que ca soit juste.
    Je pense que ce que l'on veut te faire dire est que, pour suffisamment proche de 0, les courbes de et de sont "très proches" l'une de l'autre.

    b/ Démontrer que pour tout réel x de [0;1], racine carrée(12726x)≤f(x)≤ racine carrée(12727x). Interpréter graphiquement ces inégalités.
    J'arrive à racine carrée(12726x)≤f(x)≤ racine carrée(1+12726x).
    On sait que donc tu peux majorer par quelque chose qui est indépendant de .
    c/ Démontrer que pour tout réel x appartenant à ]0;1], racine carrée(12726/x)≤f(x)/x.
    En déduire la limite en 0 de la fonction f(x)/x. La courbe C admet-elle une tangente à l'origine?
    J'arrive à racine carrée(12726)/x≤f(x)/x .
    Le de "racine carrée(12726)/x" est-il volontairement en dehors de la racine ? Si oui, ce n'est pas possible :

    Ensuite, que vaut ?

    2/ L'observateur est très éloigné de la Terre

    a/ Etudier la limite de f en +∞.
    Je trouve +∞.
    Je suis d'accord.
    b/ Démontrer que pour tout réel x≥0, x≤f(x)≤x+6363.
    Interpréter graphiquement cet encadrement
    Je trouve f(x)≥ racine carrée(12726).
    Comme , ton inégalité n'est pas vraie partout...

    Je te conseille d'essayer de montrer que (pour obtenir une expression exploitable de on pourra utiliser la quantité conjuguée de qui est ).

    c/ Démontrer que pour tout réel , f(x)-(x+6363) = (-6363²) / racine carrée(x²+12726x)+x+6363
    En déduire que lim [f(x)-(x+6363)]=0 quand x tend vers +∞. Interprétez graphiquement cette limite.
    Je trouve que la droite d'équation y=x+6363 est asymptote oblique à la droite.
    Je suis d'accord.
    Dernière modification par Flyingsquirrel ; 13/10/2008 à 17h48.

  4. #3
    Flyingsquirrel

    Re : DM de maths sur les limites de fonctions (TS)

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Le de "racine carrée(12726)/x" est-il volontairement en dehors de la racine ? Si oui, ce n'est pas possible :
    Je ne comprends pas pourquoi un "q" apparaît après le signe ... Il faut lire


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