Géométrie

[invite0ec52f9e]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide...

Problème:
Soit ABCD un parallélogramme de centre O, et delta une droite passant par O qui coupe (AD) en M, (BC) en N, (AB) en P et (CD) en Q.


Solution:
Considérons le parallélogramme ABCD de centre O
Les diagonales AC et DB se coupe en centre O.

Une droite delta passant par O coupe (AD) en M en sont milieu et coupe (BC) en N en sont milieu.
Une droite delta passant par O coupe (DC) en Q en sont milieu et coupe (AB) en P en sont milieu.

Les droites DB , AC , MN et PQ sont des diagonales du parallélogramme ABCD et se coupe , se rejoignent au centre O . C’est droites sont toutes perpendiculaires au parallélogramme ABCD.

Le quadrilatère AMNC est un rectangle, puisqu’il y a quatre angle droits et ces dites droites sont parallèles entre elles (AM) // (NC) et (AN) // (MC)

Le quadrilatère APCQ est un trapèze. les angles correspondants sont égaux et (AP) // (QC) et (AQ) // (CP).

-Petit schéma ( par moi, pour mieux comprendre)


Merci pour votre correction !
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[invite56acd1ad]

Je t'avoue que j'ai pas tout compris. Déjà quelle est la question posée ? Ensuite je comprends pas pourquoi le parallélogramme ABCD est représenté par un rectangle sur ta figure. De plus, tu parles de droites perpendiculaires au parallélogramme, qu'est-ce que tu veux dire par là ? (deux droites sont perpendiculaires, mais pas avec un parallélogramme). Tu dis aussi que MN et PQ sont des diagonales de ABCD ce qui n'est pas le cas. Enfin, tu conclues par AMNC est un rectange, alors que sur ta figure, déjà il est croisé, et ensuite il est pas du tout rectangle !
Pourrais-tu un peu éclaircir tout cela ?

[invite0ec52f9e]

Je t'avoue que j'ai pas tout compris. Déjà quelle est la question posée ? Ensuite je comprends pas pourquoi le parallélogramme ABCD est représenté par un rectangle sur ta figure. De plus, tu parles de droites perpendiculaires au parallélogramme, qu'est-ce que tu veux dire par là ? (deux droites sont perpendiculaires, mais pas avec un parallélogramme). Tu dis aussi que MN et PQ sont des diagonales de ABCD ce qui n'est pas le cas. Enfin, tu conclues par AMNC est un rectange, alors que sur ta figure, déjà il est croisé, et ensuite il est pas du tout rectangle !
Pourrais-tu un peu éclaircir tout cela ?

Désolé , pour la question =
Soit ABCD un parallélogramme de centre O, et delta une droite passant par O qui coupe (AD) en M, (BC) en N, (AB) en P et (CD) en Q.

J'avais oublié les questions qui sont =

Quelle est la nature du quadrilatère AMCN ? Du quadrilatère APCQ ?

Pour la figure, réalisé sous paint, elle n'est peut être pas précise , ou bien pas juste…C’était juste pour se représenter le parallélogramme ABCD et le quadrilatère AMCN et le quadrilatère APCQ.

Pour représenter le parallélogramme ABCD , j’ai fais un rectangle, certes, mais il faut bien une figure de base pour déterminer ensuite de quel nature sont les autres quadrilatères AMCN et APCQ , non ?

Peut être que la figure est fausse auquel cas il ne faut pas en tenir compte, il faut regarder juste l’énoncé et la question .

J’espère me faire comprendre, merci.

[matthias]

Dans la question d'origine, c'est la même droite qui coupe (AD) en M, (BC) en N, (AB) en P et (CD) en Q. Ce n'est pas ce que tu as représenté sur ton dessin.
Et il faut toujours éviter de partir d'un cas particulier. Si on ne te dit pas que ABCD est un rectangle, ne dessine pas un rectangle, tu pourrais faire apparaître des propriétés qui n'existent pas et les utiliser à tort dans tes démonstrations.

[A voir en vidéo sur Futura]

[yat]

Tu devrais commencer par tracer un parallélogramme et une droite delta qui passe par son centre. Parce que là, s'il y a une droite qui passe par M, N, P et Q, elle doit avoir une drôle d'allure.

Après, par rapport à la solution que tu proposes, rien ne dit que la (les ?) droite delta coupe quoi que ce soit en son milieu, si ce n'est les diagonales. MN et PQ ne sont pas les diagonales du paralellogramme ABCD. Des droites perpendiculaires à un parallélogramme, ça ne veut pas dire grand chose.
Mais c'est normal que le raisonnement ne soit pas clair : rien de tel qu'un bon schéma pour réfléchir.

[invite56acd1ad]

Je comprends déjà mieux...

En effet, il est très utile et fortement recommandé de faire une figure. Mais il vaut mieux faire une figure qui soit la plus "quelconque" possible. En effet, si tu te places dans un cas particulier, cela risque de te donner une fausse idée du résultat. Par contre, il peut être intéressant de commencer par une figure la plus générale possible puis d'essayer de voir ce que ca peut donner, ensuite tu peux alors essayer de voir si cela se confirme dans un cas particulier... La démarche inverse est, il me semble, risqué.

Je reviens ensuite sur l'énoncé. J'ai l'impression que tu ne l'as pas bien compris. On parle d'une seule droite Delta : celle-ci coupant les droites formées par les cotés des carrés. Je ne comprends pas trop pourquoi sur ton schéma tu en as considéré 2. De plus, comme précédemment, cette droite Delta est quelconque (ce n'est pas une diagonale, ni une droite remarquable du parallélogramme). Je te conseille donc de reprendre ton schéma pour y voir plus clair : construis un parallélogramme quelconque, trace une droite quelconque passant par 0 et regarde où elle coupe les droites (AB), (BC), (CD) et (AD). Tu devrais y voir plus clair.

Essaie alors de montrer que ANCM et APCQ sont des parallélogrammes.

Bon courage et n'hésites pas si tu as la moindre question.


Edit : multi-croisements ! carambolage !

[invite56acd1ad]

J'ai fait une petite figure dans un cas plus général. Essaie de voir ce que tu peux dire maintenant...

[invite56acd1ad]

Et même une autre figure faisant apparaitre ANCM et APCQ.

Que peux-tu en dire maintenant ?

[invite0ec52f9e]

Au vue de la figure j'en déduirais que les deux quadrilatères AMCN et APCQ, sont des trapèzes .

AMCN est un trapèze les angles correspondants sont égaux et sont parallèles entre elles (AM) // (NC) et (AN) // (MC)
APCQ est un trapèze les angles correspondants sont égaux et (AP) // (QC) et (AQ) // (CP).

Non ?

[invite56acd1ad]

Si (AN) // (MC) et (AM) // (NC), ca ne risque pas d'être d'un trapèze mais plutot un parallèlogramme. Es-tu sur de bien faire la différence entre trapèze et parallèlogramme ? Dans un trapèze, seuls 2 cotés opposés sont parallèles, alors que dans un parallèlogramme, les côtés opposés sont 2 à 2 parallèles.

De plus, je ne comprends pas très bien l'expression "les angles correspondants". Peux-tu expliciter ?

Enfin, il faut montrer que (AN) // (MC) et (AM) // (NC), une figure n'est pas une "vraie" démonstration...

[invite0ec52f9e]

Si (AN) // (MC) et (AM) // (NC), ca ne risque pas d'être d'un trapèze mais plutot un parallèlogramme. Es-tu sur de bien faire la différence entre trapèze et parallèlogramme ? Dans un trapèze, seuls 2 cotés opposés sont parallèles, alors que dans un parallèlogramme, les côtés opposés sont 2 à 2 parallèles.

De plus, je ne comprends pas très bien l'expression "les angles correspondants". Peux-tu expliciter ?

Enfin, il faut montrer que (AN) // (MC) et (AM) // (NC), une figure n'est pas une "vraie" démonstration...

Auquel cas les deux quadrilatères sont des parallèlogrammes.

Les angles correspondants = les angles égaux

D'autant que tout à fait, je m'égare, un trapèze n'as pas du tout cette forme, je suis pas réveillé !!

Je viens de m'en rendre compte....sa ne peut pas etre un trapèze ( je ne sais pourquoi j'ai dis cela...pourtant je n'ai bu que de l'eau ce midi )

[invite56acd1ad]

Ok ca marche. Ce sont en effet des parallélogrammes. Maintenant, il te reste à montrer que c'est bien le cas... Il faut utiliser un raisonnement géométrique (ou vectoriel, si tu connais) pour démontrer que c'est le cas, une figure n'étant pas suffisante comme démonstration...

Bon courage pour la suite...

Sinon, bois moins d'eau le midi...

[invite0ec52f9e]

Ok ca marche. Ce sont en effet des parallélogrammes. Maintenant, il te reste à montrer que c'est bien le cas... Il faut utiliser un raisonnement géométrique (ou vectoriel, si tu connais) pour démontrer que c'est le cas, une figure n'étant pas suffisante comme démonstration...

Bon courage pour la suite...

Sinon, bois moins d'eau le midi...

Merci !
Pour démontrer, est-ce que les propriétés, comme :

-Un quadrilatère avec des côtés opposés 2 à 2 de même longueur est un parallélogramme.

-Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.

- Un quadrilatère qui a un centre de symétrie est un parallélogramme.

-Un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et égaux est parallélogramme.

Ce qui démontre que les quadrilatères AMCN et APCQ sont des parallélogrammes.

Non ? Ou bien dois-je faire une autre démonstration

[invite56acd1ad]

Je ne comprends pas très bien où tu veux en venir. Tout ce que tu dis est exact. Mais ce qu'il te faut faire ici, c'est expliquer pourquoi (AN) // (MC) et (PC) // (AQ) (pour les autres, c'est clair car ABCD est un parallèlogramme). Vois-tu comment la construction effectuée permet de prouver ceci ?
D'ailleurs une seule des propriétés énoncées ci-dessus suffit (les autres sont équivalentes). A toi de voir laquelle est plus simple à démontrer...

Attention, je le répète : la figure n'est qu'un outil (indispensable) pour voir ce qui se passe, il faut maintenant démontrer comment la construction proposée permet d'aboutir à 2 parallèlogrammes.

Si je ne suis pas assez clair, n'hésites pas...

[invite56acd1ad]

Il est peut-être plus facile d'essayer de montrer que NC = AM, et que AP = CQ, plutot que d'essayer de montrer que (AN)//(MC) et (PC)//(AQ).

Vois-tu comment faire ?

[invite0ec52f9e]

Il est peut-être plus facile d'essayer de montrer que NC = AM, et que AP = CQ, plutot que d'essayer de montrer que (AN)//(MC) et (PC)//(AQ).

Vois-tu comment faire ?

Un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et égaux est parallélogramme.


Puisque le parallélogramme ABCD, de centre O, et delta une droite passant par O et qui coupe la demi-droite (BC) en N et la demi-droite (AD) en M. Les diagonales du quadrilatère AMCN sont (NM) et (AC) , qui se coupent en O en leur milieu alors NO = OM et AO = OC

On en déduit donc que NA = CM et que NC = AD et que ces droites sont respectivement parallèles entre elles.
Au vue de la propriété plus haut, on démontre que le quadrilatère AMCN est un parallélogramme.

Puis pour le quadrilatères APCQ :
Puisque le parallélogramme ABCD, de centre O, et delta une droite passant par O et qui coupe la demi-droite (CD) en Q et la demi-droite (AB) en P. Les diagonales du quadrilatère APCQ sont (PQ) et (AC) , qui se coupent en O en leur milieu alors PO = OQ et AO = OC

On en déduit donc que PC = CAD et que PA = CD et que ces droites sont respectivement parallèles entre elles.
Au vue de la propriété plus haut, on démontre que le quadrilatère APCQ est un parallélogramme.

, est ce cela ? ou pas ?


Merci !

[invite56acd1ad]

Les diagonales du quadrilatère AMCN sont (NM) et (AC) , qui se coupent en O en leur milieu alors NO = OM et AO = OC

Pourquoi aurais-t'on NO=OM ? ceci n'est vrai que si AMCN est un parallèlogramme, ce que l'on veut montrer. Ou as-tu utilisé autre chose sans le dire ? On sait déjà que OA=OC car ABCD est un parallélogramme, mais on ne sait pas a priori que NO=OM. Si on le savait, alors c'est fini car ANCM serait forcément un parallélogramme.

De plus, comment en déduis-tu que AN=MC ?

Je pense qu'il faut reprendre le raisonnement. Essaie plutot d'appliquer le théorème de Thalès avec les triangles NOC et AOM (tu sais déjà que (NC)//(AM))...

Allez ! tiens bon !

[invite0ec52f9e]

Ce n'est pas faute de mauvaise volonté , j'ai essayé de trouver la méthodologie pour démontrer la nature des quadriltères...mais je n'y arrive pas...Je ne trouve pas !

[invite56acd1ad]

Bon reprenons dans ce cas.

Ici tu as un quadrilatère ANCM et tu veux montrer que c'est un parallèlogramme. Pour cela, comme tu l'as dit tout à l'heure, il y a plusieurs méthodes car tu connais plusieurs caractérisations du caractère "parallèlogramme". Jusque là, ca va ?

On continue : je te propose de te tourner vers la propriété

Un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et égaux est parallélogramme.

Ici, on sait déjà que (NC)//(AM) car ABCD est un parallèlogramme, ok ?
Donc il ne reste plus qu'à montrer que NC=AM. Ca marche ?

Pour cela, je te propose d'appliquer le théorème de Thalès pour démontrer que NC=AM. On pourra alors en conclure que ANCM est un parallèlogramme. (cf plus haut.)

Dis-moi si tu as bien compris tout ceci, et si c'est le cas, essaie de finir la démonstration.

[invite0ec52f9e]

Je n’ai pu répondre au message d’hier soir, mais me revoilà .
Pour thales...thales...., n'est ce pas ceci qu'il faut démontrer= NB/NC = AD/AM .

Dans le quadrilatère AMCN,
Si D est un point de [AM], SI B est un point de [NC] Et si (BC) // (AD) alors
NB/NC = AD/AM .

On en déduit donc que NC=AM . On sait que (NC) // (AM)

Or un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et égaux est parallélogramme.
Nous démontrons que le quadrilatère AMCN est un parallélogramme.


C'est juste ou pas ?

Et pour le quarilatère APCQ , faut-il démontrer aussi avec thales, type AP/AB = CQ/CD.

Dans le quadrilatère APCQ,
Si P est un point de [AB], SI Q est un point de [CD] Et si (AP) // (CQ) alors
AP/AB = CQ/CD .

On en déduit donc que AB=CD . On sait que (AB) // (CD)

Or un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et égaux est parallélogramme.
Nous démontrons que le quadrilatère APCQ est un parallélogramme.

Est-ce bon ou pas ?

Merci

[invite56acd1ad]

Désolé, mais ton raisonnement n'est pas correct. Surtout ceci en fait :

Si D est un point de [AM], SI B est un point de [NC] Et si (BC) // (AD) alors
NB/NC = AD/AM .

Si ceci est vrai dans le cas général, cela veut dire que tu peux l'appliquer avec n'importe quel point D et n'importe quel point B... ca parait tout de suite moins faisable.

Pour appliquer le théorème de Thalès, il faut considérer 2 triangles qui ont un sommet commun et les côtés opposés à ce sommet parallèles. Si tu as un doute là dessus, n'hésites pas à demander...

Si on essaie d'appliquer ceci ici, on va plutot considérer les triangles ONC et OAM. Vois-tu comment Thalès va s'appliquer ? Ici on a bien un sommet commun (O) et deux cotés parallèles : NC et AM. Je te laisse voir pourquoi on va donc avoir NC=AM.

On essaiera ensuite le cas de APCQ...

[invite0ec52f9e]

Alors pour le quadrilatère AMCN , on verra l’autre après…

Si l’on considère le triangle NOC ,
Si P un point de la droite (NO) et B un point de la droite (NC)

Puis le triangle AOM , de sommet commun au triangle NOC.

Si D un point de la droite (AM) et Q un point de la droite (OM).

Et si (AD) // (BC) .

Alors (NO) / (PO) = (OM) / (OQ)

Si (AM) / (AD) = (NC) / (BC)

Alors on en déduit que NC = AM

On sait que (NC) // (AM)

Or un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et égaux est parallélogramme.
Nous démontrons que le quadrilatère AMCN est un parallélogramme

J'attends votre correction, merci.

[invite56acd1ad]

Euh je t'avoue que je comprends pas trop ce que tu fais. Peut-être devrais-tu revoir le théorème de Thalès.

Si on considère les triangles ONC et OAM, on ne peut pas en déduire que N0/PO=OM/OQ. Que vient d'ailleurs faire les points P et Q ici ? on considère les triangles ONC et OAM, donc les seuls points qui peuvent intervenir dans le raisonnement sont A,O,N,C et M. Si ce n'est pas clair, n'hésites pas à demander.

De plus, supposons que cette égalité soit vraie, tu fais ensuite une hypothèse ?, je ne te suis pas trop. Essaie de reprendre ca. Je pense que tu n'as pas tout compris au théorème de Thalès...

Va jeter un petit coup d'oeil ici : Théorème de Thalès, c'est une petite animation (java) qui permet d'illustrer ce théorème.

[invite56acd1ad]

Tiens, voici une petite figure pour illustrer le théorème de Thalès. J'espère que ce sera plus clair avec...

Remarque : Ici (dans l'exercice), on est dans le cas où (BB') et (CC') sont de part et d'autre du point O.

[invite0ec52f9e]

Oula ...Euh, j'ai plus ou moins compris les exemples donnés, mais pour ce qui concerne mon exercice, faire la relation entre les exemples et mon exercice, le rapport, je n'assimile pas...désolé...

[invite56acd1ad]

Ok. Voici un autre schéma qui ressemble plus à celui de l'exercice donné.

On a : (BB') // (CC').

Le théorème de Thalès appliqué aux triangles OBB' et OCC' donne alors que : .

La réciproque du théorème de Thalès dit que si ses égalités sont vérifiées, alors les droites (BB') et (CC') sont parallèles.


Dans le cas de l'exercice, on va appliquer le sens direct du théorème. On sait ici que (NC) et (AM) sont parallèles. Essaies maintenant d'appliquer le théorème de Thalès comme ci-dessus pour en déduire une relation entre NC, AM, OC et OA. Puis il faut se souvenir que OA=OC. Je te laisse y réfléchir un peu...

[invite0ec52f9e]

Reprenons en fonction de l’exemple donné, S’il faut considérer les triangles NOC et AOM pour notre exercice :

On a (AM) // (NC)

AO / OC = MO / NO = (AM // ( NC)


Selon l'exemple, j'espère avoir compris....merci

[invite56acd1ad]

Oui, c'est ca.
On a donc : AM/NC = AO/OC = 1 (car O est le milieu de [AC]). Donc AM=NC. Je te laisse conclure quant à la nature du quadrilatère ANCM...

Essaie maintenant de voir quels triangles il faut considérer pour montrer que AP=QC...

[invite0ec52f9e]

Oui, c'est ca.
On a donc : AM/NC = AO/OC = 1 (car O est le milieu de [AC]). Donc AM=NC. Je te laisse conclure quant à la nature du quadrilatère ANCM...

Essaie maintenant de voir quels triangles il faut considérer pour montrer que AP=QC...

Je pense que pour montrer que AP = QC
Il faut considérer les triangles APQ et PCQ , non ?

[invite56acd1ad]

Euh non, ca ne marche pas avec ces triangles (regarde les figures précédentes, on n'est dans aucun de ces cas). Cherche plutot 2 triangles de centre O...