Espace vectoriel et projecteur

[invite61787976]

Bonjour à tous,

Je rame un peu sur l'exo suivant :

On se place dans un espace vectoriel E de dimension 3.
Soit P le plan d'équation x + y + z = 0
Soit D la droite engendrée par (1 1 1)
Soit p le projecteur sur P parallèlement à D
Soit q le projecteur sur D parallèlement à P

Montrer que P et D sont des sous-espaces propres de p et q pour les valeurs propres 1 et 0. Donner une base de vecteurs propres, et les matrices représentatives de p et q dans cette base.


Je suis un peu perdu, tout aide pour me débloquer sera bienvenue...
Merci beaucoup!
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[invite61787976]

Personne?
Merci pour votre aide....

[invite57a1e779]

Quelle est la définition d'un vecteur propre pour la valeur propre 1 ? pour la valeur propre 0 ?
Quelle est l'image par p d'un vecteur de P ? d'un vecteur de D ?
Quelle est l'image par q d'un vecteur de P ? d'un vecteur de D ?

[invite61787976]

Merci pour ta réponse...

pour valpropre=1, x est vecteur propre si p(x)=x ?
pour valpropre=0, x est vecteur propre si p(x)=0 ?

Si x appartient à P, p(x)=x et q(x)=0 ?
Si x appartient à D, p(x)=0 et q(x)=x ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Mais oui, il n'y avait rien de bien compliqué en fait.

[MOHAMED_AIT_LH]

bonjour


On peut remarquer que ,c'est-à- dire que et sont supplementaires dans

On a déjà une base de c'est le vecteur
Le plan étant d'equation on peut trouver une base de en écrivant par exemple donc . Du coup on a une base de .Je te laisse le soin de la detecter et de chercher les matrices respectives de et relativement à la base des vecteurs prores trouvée ...

[invite61787976]

Merci beaucoup God's Breath et Mohamed_Ait_Lh !!!!

Du coup je trouve (10,01,-1-1) comme matrice de P.

Maintenant pour la suite...
Pour p, je trouve comme equa caracteristique (1-t)²*(-t)
soit une matrice (100,010,-1-11)
et une matrice diagonale (100,010,000)

pour q, je trouve comme equa caracteristique (1-t)*t²
soit une matrice (000,000,111)
et une matrice diagonale (000,000,001)

Ca ressemble à quelque chose?

Merci encore pour votre aide!

[invite61787976]

euh erreur de frappe pour la matrice de q :
je trouve (001,001,001)...

[MOHAMED_AIT_LH]

bonsoir :

voici en piéce jointe mon commentaire ...

[invite61787976]

Merci infiniment pour ton aide MOHAMED_AIT_LH !!!
Je vais regarder ça!

[invite61787976]

Merci beaucoup pour ton aide!

Pour info finalement j'ai trouvé ça pour les matrices de p et q relativement à la base canonique:

1/3 (2-1-1)(-12-1)(-1-12)

et

1/3 (111)(111)(111)

Merci encore!