Intégrale fonctions trigo

[invite292e91f0]

Bonjour,

je voudrais calculer une intégrale mais je peine un peu... Pourtant je pense qu'elle n'est pas très compliquée, mais j'ai un peu de mal avec les changements de variables (avec l'analyse, en fait ^^'). Pourriez-vous me dire si je suis sur la bonne voie ?
où a et b sont des paramètres.
On m'a conseillé de passer par le changement de variable . J'ai donc découpé mon intervalle en , et j'ai : , , . Quant à mes bornes, elles deviennent 0, et 0.
Bref, je me retrouve avec une fraction rationnelle :

S'il y a des "infty" qui apparaissent, ce sont normalement des symboles de l'infini, mais ils ne veulent pas s'afficher, désolé

Voilà où j'en suis pour le moment. A votre avis, est-ce que jusque là c'est juste ? Et si je continue comme ça, ai-je une chance d'arriver à destination ?
Merci d'avance !
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[invite292e91f0]

Euh... en fait je viens de relire ce que j'ai fait
Outre le fait qu'il manque des 2 dans la somme qui précède, c'est moi ou mon calcul mène à 0 ?

Est-ce que je suis mauvais à ce point ?

[ydethe]

Tu as effectivement un problème!!!
Tu devrais avoir

Cela se vérifie par le fait que la fonction est périodique et paire. (Les bornes sont donc bien 0 et , et d'où le x2 également)

[invite292e91f0]

Merci pour votre réponse.
Mais pourriez-vous me dire où est mon erreur ? Le 2 dont je parlais vient de ... Donc il y a un truc que je fais mal. Pourtant il me semble que j'ai bien fait le changement de variable, non ? Je n'arrive pas à voir où ça pêche :/

[A voir en vidéo sur Futura]

[krikor]

Bonjour.
si tgt=z,Tu devrais avoir J=(1/b)*int dz/[(a/b)+z²]

[invite292e91f0]

Bonjour,
Je n'ai pas posé tant=z mais tan(t/2)=z... un changement de variable classique, apparemment.
Mais je ne vois pas pourquoi je devrais obtenir ce que vous me dites ? :/

[invite292e91f0]

(Désolé pour le double post, dommage qu'on ne puisse pas éditer les messages...)
Bon, à la pause de ce matin j'ai regardé une nouvelle fois mon intégrale, et je vois où est mon erreur. Du coup je ne trouve pas 0 mais

Bon ce n'est pas encore tout à fait ce que vous me disiez, Ydethe, mais c'est juste un problème de constante, donc pas hyper important (en tout cas ce ne sera sans doute pas le plus dur à régler).
Bon alors du coup je me retrouve avec une fraction rationnelle à intégrer... et là c'est chaud car le polynôme du bas n'a pas forcément de racines (si je ne me trompe pas, dans le cas où |a|>|b| je me retrouve avec un polynôme sans racine de degré 4 !) Donc je vais peut-être essayer de continuer dans cette fois, mais je suis un peu sceptique quant à savoir si je vais atteindre mon objectif...

[krikor]

bonjour.
C'est simple:
si tgt=z;t=arctgz; sin²t=z²/(1+z²); cos²t=1/(1+z²);dt=1/(1+z²)

int dt/(a*cos²t+b*sin²t)=int dz/(a+bz²)!

[invite292e91f0]

Désolé pour ma lenteur de réaction...
Effectivement, ça m'a l'air beaucoup plus simple comme ça ! Merci beaucoup !
Par contre maintenant je dois diviser mon intervalle en quatre pour que le passage de tan t à arctan z soit possible, non ? Et d'ailleurs même en faisant ça je ne vais pas avoir un problème pour ce qui est hors de [0;Pi/2[ ?
Par contre, du coup, ça me pose un problème : comment savoir quel changement de variable sera le bon ? A l'instinct ? En testant ? Ou bien y-a-t-il une méthode pour les débutants ?

[krikor]

Re bonjour.
Pour les fonctions trigonométrique on utilise la règles de Bioche.

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gles_de_Bioche

[breukin]

Moi je préfèrerais simplifier au maximum l'intervalle initial, du fait de la périodicité et de la symétrie :

Et ensuite je m'occupe de faire des changements de variable.

[invite292e91f0]

Merci beaucoup !
Effectivement j'ai simplifié l'intervalle et du coup on peut faire le changement de variable !
Bon, du coup j'ai réussi ça, mais ça me montre à quel point je manque de bases... c'est noté pour les règles de Bioche, je saurai où chercher la prochaine fois.

[God's Breath]

Cela se vérifie par le fait que la fonction est périodique et paire.

La fonction est -périodique, on intègre donc sur un intervalle de deux périodes.
L'intégrale est donc égale à , où est l'intégrale sur un intervalle d'une période, que l'on choisit intelligemment sous la forme .
La parité permet alors de réduire l'intégrale sur la demi-période .