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Récurence



  1. #1
    madininais

    Récurence


    ------

    Bonjour,j'ai un petit soucis de méthode pour savoir ce qui est "homologué" ou pas en coucours:

    Imaginons que l'on est à démontrer qu'une famille de fonction (f1,f2,f2...fn) est libre.
    Donc classiquement je forme une combinaison linéaire nulle
    a1.f1+a2.f2+...+an.fn=0
    Et que en évaluant en des vecteurs particulier xi on puisse isolé chaque fonction fi et on en déduit que ai=0

    Donc première méthode:
    Sur ma copie j'écrirais: on évalue en x1=>a1=0
    on évalue en x2=>a2=0 ainsi de suite jusqu'à an=0
    doc la famille est libre
    Mais notre professeur semblait dire que cette méthode n'est pas valable.

    D'ou la méthode par récurence, mais je ne sais pas si ma "syntaxe est correcte". Tout d'abord comme la conclusion n'est pas "qualque soit n ..." j'ai du mal à accepter la validité de la récurence.
    Bon donc voila comment je l'écrirai:
    Pour tout k <ou=n montrons par récurence H<k>: la famille (f1,f2,...fk) est libre
    H<1> ok (f0 est un vecteur non nul)
    soit k tq H<k-1> vrai montrons que H<k> est vrai
    et donc la en évaluant en xk on a ak=0 et il nous reste sur les k-1 premiers termes dans la combinaison linéaire donc on applique H<k-1>...

    Qu'en pensez vous?
    Seul la deuxieme méthode est acceptable?
    et est-elle bien rédigée?

    -----

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  4. #2
    girdav

    Re : Récurence

    Bonjour,
    pour la première méthode on peut écrire que l'on a pour tout .
    Soit pour tout tel que pour tout différent de et d'après ce que tu as annoncé.
    La première égalité écrite est vraie en particulier pour tous les donc pour tout on a donc .

  5. #3
    madininais

    Re : Récurence

    Ouai bon ok mais je me rend compte que mon exemple n'était pas top, mais je n'en trouve pas un bien sur le moment... Je reposterai dès le bon exemple trouvé!
    Merci

  6. #4
    madininais

    Re : Récurence

    En voila un! Pour la base canonique de Rn[X] par exemple X^k
    pour montrer que c'est une famille libre.
    Là par la premiere méthode il faudrait dériver n fois puis n-1 fois ... Puis 1 fois... Toutes les etapes sont necessaires
    donc la récurence s'impose?

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  8. #5
    girdav

    Re : Récurence

    Ouais, enfin si on parle de base canonique puis que l'on veut montrer que c'est libre...
    Sinon on peut prendre par exemple comme famille celle des et appliquer la première méthode.
    Sinon dans ton exemple précédent on peut montrer d'abord par récurrence la formule de la dérivée -ième de .

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