Semi-convergence d'une série

[inviteaac0bdf6]

Bonsoir tout le monde,

il s'agit de trouver la nature de la série de terme général (-1)ⁿ*A/B

avec A = n^1/2*sin(n^-1/2)
et B = n + (-1)ⁿ

Or on trouve très facilement avec un rapide DL du sin que :
A/B est équivalent à 1/n

donc que cette série est semi-convergente d'après le CSSA (Critère Spécial des Séries Alternées).

Cependant, le corrigé considère seulement que cette solution mène au fait qu'elle soit non grossièrement divergente et ils font alors l'analyse à l'ordre 2 pour trouver que le terme général est équivalent à :
(-1)ⁿ/n + O(n^-2)

Fallait-il vraiment pousser l'analyse jusque là? Merci de vos réponses
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[invite899aa2b3]

Les équivalents ne marchent que pour les séries qui ont des termes généraux de signe constant à partir d'un certain rang.

[invitebf89bef5]

Oui effectivement tu ne peux pas utiliser le théorème sur les équivalent car ce n'est pas une série à termes positifs à partir d'un certain rang tu es donc obligé d'utilisé la méthode du bouquin qui est appelé méthode par éclatement et donc la 1ere série converge d'après le CSSA et de plus tu as Un- (-1)ⁿ/n=O(1/n²) donc par comparaison la série de terme général Un- (-1)ⁿ/n converge or (-1)ⁿ/n converge donc la série de terme général Un converge

[inviteaac0bdf6]

Ah oui j'avais oublié ce détail merci beaucoup pour l'explication!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite899aa2b3]

Un exemple : si on prend : les termes ne sont jamais de signe constant. On a que qui est le terme général d'une série convergente.
Pourtant, . Le deuxième terme est le terme général d'une série convergente, alors que les autre sont ceux d'une série convergente.
Cet exemple n'est pas difficile à retenir et montre qu'il vaut mieux utiliser, quand c'est possible, un développement asymptotique plutôt qu'un équivalent.

[inviteaac0bdf6]

Ah oui merci Girdav pour cet exemple!

C'est bon j'ai bien compris maintenant j'en ai fais pas mal.

Merci encore

[invite899aa2b3]

Évidemment il y a des coquilles dans le dernier message.
Le vrai développement asymptotique est ce qui ne change rien à la divergence de cette série.