Un petit probleme d'analyse

[Bleyblue]

Bonjour,

Je considère une fonction de classe et à support compact définie sur .

Alors :

1) La fonction est aussi de classe (pour le justifier il suffit de voir que la fonction de dans qui envoit sur est de classe , n'est ce pas ?)

2) Voyez-vous comment je pourrais montrer l'ingégalité suivante :



où les doubles barres indexées d'un 1 désigne la norme L1 (je ne suis pas parvenu à faire mieux et Latex s'obstine à me mettre le 1 en dessous plutôt qu'en indice, si quelqu'un a une syntaxe plus appropriée à me proposer )

J'ai essayer de développer (règle du produit) la dérivée de f mais je ne parvient pas à cela, je ne vois pas comment il se débarasse de la dérivée du facteur |u|^t-1.

Pour ceux qui connaissent un peu la littérature d'analyse, je lis le livre de BREZIS et ça m'agaçe car il ne donne que peu de détails dans ses démonstrations

merci
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[inviteaeeb6d8b]

Effectivement les commandes \| et \Vert ne produisent pas l'effet voulu sur le forum... Et on ne peut pas faire \| \| non plus.

(et il ne connait pas non plus \Arrowvert... Je n'ai donc pas mieux.)

[Bleyblue]

En effet, j'ai essayé ces commandes aussi.

Mais bon, si on se comprend, c'est l'essentiel

[invite6f25a1fe]

Pour ton problème de notation, il faut utiliser la notation pour les "Vmatrix" :


Reste maintenant à voir le problème de math ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ah très bien merci

[invitec317278e]

Peut être avec un truc du genre:
Soit x.

Si alors et l'égalité est vraie dans un voisinage de x, on a alors

Si ,



PS : on ne peut pas utiliser la formule de dérivation d'un produit car on ne sait pas si |u| est aussi C1

[Bleyblue]

Ah oui bien vu !

Mais c'est exactement ce qu'il me faut non ? Tu viens de montrer que quel que soit :



ce qui livre immédiatement mon résultat ...

merci !

[invitec317278e]

Il reste tout de même à examiner le cas ; et puis je me demande aussi pourquoi il faut prouver une simple inégalité, alors que si ce que j'ai écrit est juste, on a carrément l'égalité, sans plus de boulot...

[Bleyblue]

L'inégalité résulte du fait que j'ai reformuler le problème que j'ai trouvé dans le livre (je ne savais pas s'il s'agissait d'une égalité ou d'une inégalité alors dans le doute j'ai mis inégalité)

Mais le cas u(x) = 0 est compris dans le 1er cas non ? Enfin tu mets u(x) > 0 mais ça me semble valable pour u(x) positif ou nul.

merci

[Bleyblue]

Ah mince non je ne peux pas dériver si je ne connais pas l'expression de u(x) sur un certain voisinage.

Je vais devenir fou, l'auteur m'énerve vraiment à ne pas justifier ce qu'il fait

[invitea6f35777]

salut

D'abbord tu pourrais préciser (il me semble qu'il y a ce genre d'hypothèses mais ça fait longtemps que j'ai lu le Brézis mais je crois que ce genre d'inégalité sert à démontrer des injections de Sobolev et que considérer des négatifs n'a pas d'intérêt)
Si Brézis considère et pas ce n'est pas pour se compliquer inutilement la vie c'est que dans le premier cas on obtient une fonction si est et dans l'autre cas il peut y avoir des problèmes de dérivabilité lorsque s'annule (essayer par exemple et ). Montrer que la fonction
est sur est un simple exercice de taupe, il suffit de vérifier l'égalité des dérivées à droite et à gauche en ce qui a été fait dans les messages précédents.

[Bleyblue]

D'abbord tu pourrais préciser (il me semble qu'il y a ce genre d'hypothèses mais ça fait longtemps que j'ai lu le Brézis mais je crois que ce genre d'inégalité sert à démontrer des injections de Sobolev et que considérer des négatifs n'a pas d'intérêt)

Les injections de Sobolev oui. En effet j'ai oublié de préciser qu'on considère des (mais aussi c'est car j'ai passé 20 minutes sur ce code latex défectueux donc j'ai oublié de préciser les conditions )

En fait je me complique la vie pour rien oui, il suffit de voir que |u|^t-1u = fou et comme f et u sont de classes C¹ tout va bien.

merci