Moment d'inertie d'un cône par rapport a un diamètre de sa base

invite437db0da · 21/04/2010, 10h07

Bonjour,

Je cherche a resoudre un exercice;
calcul dumoment d'inertie d'un cone par rapport a un diametre de sa base.
rayon : R
hauteur : h
masse volumique : M

J'ai meme le resultat:

I = 3/10.M.(R²/2 + h²/3)

Si quelqu'un peux m'aider
D'avance merci

invite57a1e779 · 21/04/2010, 10h45

Le calcul direct par une intégrale triple ne devrait poser aucun problème.

invite437db0da · 21/04/2010, 11h08

Envoyé par God's Breath

Le calcul direct par une intégrale triple ne devrait poser aucun problème.

Bonjour,
merci pour votre reponse, je savais pour l'intregrale triple, mais mes lacunes ne me permettent pas de la resoudre, si vous pouviez developper je pense que l'exemple me permettrai de resoudre seul les autres exos du meme ordre.
D'avance merci

invite57a1e779 · 21/04/2010, 11h26

Je suppose que la base du cône est, dans le plan $\text{[math]}$ , le cercle de centre $\text{[math]}$ et de rayon $\text{[math]}$ , que le sommet est, sur l'axe $\text{[math]}$ , le point de coordonnées $\text{[math]}$ , et que l'on calcule le moment d'inertie par rapport au diamètre de la base porté par l'axe $\text{[math]}$ .

Le moment d'inertie est alors donné par $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ étant la section du cône par le plan horizontal de cote $\text{[math]}$ , donc centré sur l'axe $\text{[math]}$ , et de rayon $\text{[math]}$ .

On a, avec un passage en polaires : $\text{[math]}$ .

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**KerLannais** · 21/04/2010, 12h56

Bonjour,

Attention, le résultat est correct mais dans cette formule M est la masse et pas la masse volumique (cela se voit au niveau de l'homogénéité et quand on fait le calcul).

invite437db0da · 21/04/2010, 14h02

n'y a t'il pas un autre moyen que les integrales triples pour arriver au resultats, car bien que je calcul regulierement l'inertie de pieces parfois "tarabiscoté" pour des calculs de structure, je bloque ici sur des lacunes mathematiques et n'arrive pas a continuer le calcul commencé plus haut par god's breath.
merci

**KerLannais** · 21/04/2010, 18h14

Salut,

Ici je ne vois pas comment faire autrement que d'utiliser des intégrales triples puisque le cône se décompose difficilement en morceaux plus simples dont on connaîtrait le moment d'inertie et l'axe de rotation n'est pas un axe de symétrie du cône.

Tu as
$\text{[math]}$
L'intégrale du sinus carré se calcule en utilisant que
$\text{[math]}$

invite57a1e779 · 21/04/2010, 18h27

Si l'on connaît le moment d'inertie d'un disque par rapport à un de ses diamètres, on peut calculer en fonction de $\text{[math]}$ , par le théorème d'Huygens, le moment d'inertie du disque $\text{[math]}$ par rapport au diamètre de la base du cône pour avoir $\text{[math]}$ .

Je ne pense pas que ce soit plus simple que le calcul de l'intégrale triple, dont KerLannais a bien montré qu'elle se décompose immédiatement en polaires.

invite437db0da · 22/04/2010, 08h47

decidement ca depasse mes capacités!
Pourrai-je vous demander de me le resoudre entierement, j'aurai ainsi un modele pour les autres probleme du meme ordre.
cordialement

**KerLannais** · 22/04/2010, 13h22

Essayons de faire le calcul "à la physicienne" pour le rendre plus intuitif

Il faudrait faire des dessins à chaque fois mais j'ai la flemme de les faire

Première étape On calcule le moment d'inertie d'un anneau (tranche de tube creux) de hauteur $\text{[math]}$ de rayon interne $\text{[math]}$ et de rayon externe $\text{[math]}$ par rapport à un diamètre. On choisira les axes de façon à ce que l'axe du tube soit l'axe $\text{[math]}$ et que notre anneau soit la tranche du tube comprise entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . On tournera par rapport à l'axe $\text{[math]}$

On travaille en coordonnées cylindriques, on découpe donc cet anneau en élément infinitésimaux qui sont approximativement des cubes. L'élément compris entre les angles $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ayant pour volume
$\text{[math]}$
Si on note $\text{[math]}$ la masse volumique, l'élément de masse volumique est alors
$\text{[math]}$
Le moment d'inertie $\text{[math]}$ par rapport à l'axe $\text{[math]}$ est égale au moment d'inertie $\text{[math]}$ par rapport à l'axe $\text{[math]}$ . On a donc
$\text{[math]}$
Si on considère un élément de masse volumique $\text{[math]}$ et si on note $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ses coordonnées cartésiennes, alors sa distance au carré à l'axe $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ et donc sa contribution au moment d'inertie $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ , de même sa contribution à $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ . Le théorème de Pythagore nous dit que
$\text{[math]}$ et donc
$\text{[math]}$
(où $\text{[math]}$ est l'anneau que l'on considère) soit encore
$\text{[math]}$

Deuxième étape On calcule le moment d'inertie du disque plein de rayon $\text{[math]}$ et d'épaisseur $\text{[math]}$ par rapport à un de ses diamètres. Puisque c'est une réunion d'anneau dont on a calculé le moment d'inertie en première partie on a juste a sommer ces contributions
$\text{[math]}$

Troisième étape On utilise le théorème de Huygens pour calculer le moment d'inertie du disque plein d'épaisseur $\text{[math]}$ et de rayon $\text{[math]}$ mais par rapport à un axe $\text{[math]}$ parallèle à un diamètre et à une distance $\text{[math]}$ de celui-ci
$\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$ la masse. Soit
$\text{[math]}$

Quatrième étape On remarque en faisant un dessin et en utilisant le théorème de Thalès que la tranche du cône comprise entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est un disque d'épaisseur $\text{[math]}$ et de rayon
$\text{[math]}$
Son moment d'inertie est alors d'après l'étape précédente
$\text{[math]}$

Dernière étape Il ne reste plus qu'à sommer ces contributions
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
La masse est donnée par
$\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$ et
$\text{[math]}$

en espérant que ça t'aide

invite437db0da · 23/04/2010, 10h13

Ouah et bien merci je regarde tout ca de plus pres je devrai arriver a comprendre, encore merci

Moment d'inertie d'un cône par rapport a un diamètre de sa base

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Re : moment d'inertie d'un cone par rapport a un diametre de sa base

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