Surjectivité du produit vectoriel

[invite9a322bed]

Bonjour,

J'ai du mal à justifier proprement une question pour mon DM. Soit un espace vect euclidien de dimension 3. Soit z un vecteur de E. Montrer que il existe un couple x et y tel que : .

Merci
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[invite57a1e779]

Il suffit de considérer une base orthonormée directe telle que , et de définir correctement et en fonction de et .

[invite9a322bed]

Ok merci est ce que je dois utiliser le théorème de la base orthonormale incomplète pour justifier le fait qu'on peut choisir e_3 comme on veut ? (Ce théorème n'a pas été vu en cours (en tout cas pour le cas de base o.n), mais je l'ai lu sur un manuel ) .

[invite57a1e779]

On choisit unitaire et colinéaire à , on le complète en une base, et on orthonormalise cette base par le procédé de Gram-Schmidt. On échange éventuellement les deux premiers vecteurs pour avoir finalement une base orthonormée directe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a322bed]

Je vous remercie !