Généralité sur les Groupes.

[invitedb2255b0]

Voici l'énoncé de l'exercice:
Soit G un ensemble non vide, * une lcbi assotiative. On as les 2 propriété suivantes:
1) * admet un éléments neutre à droite, noté e.
2) tout éléments x de G admet un symetrique à droite pour *.

Montrer que (G,*) est un groupe.

Alors j'me demandais si c'est la fatigue qui s'fait ma poire où si il n'y aurais pas une coquille du style: e neutre à droite, et symetrique à gauche.


Parceque j'ai retourner le problème dans tous les sens et j'y vois pas clair ...

Merci =)
-----

[invitec317278e]

l'énoncé est correct :
*Montrons l'inversibilité à gauche, avec le même inverse et le même élément neutre.
Soit a.
Il existe alors b tel que ab=e
Alors, bab=be=b (neutre à droite)
Puis par inversibilité à droite, il existe c tel que bc=e donc
babc=bc donc ba=e

*Montrons la neutralité à gauche
Soit a
Alors, ae=e
alors, eae=ee=e
alors, en multipliant par l'inverse de e à droite :
ea=e
D'où la neutralité à gauche avec le même élement neutre

[invitec317278e]

En fait, j'ai considéré qu'il était sous entendu le neutre de 1) correspond au neutre de 2), mais je ne sais pas si c'est le cas dans ton exo...

[Seirios]

Bonjour,

En fait, j'ai considéré qu'il était sous entendu le neutre de 1) correspond au neutre de 2), mais je ne sais pas si c'est le cas dans ton exo...

Mais ce n'est pas toujours le cas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Si, mais je n'en étais plus certain.

[Médiat]

Bonjour,

Soit a
Alors, ae=e

Quelle propriété utilisez-vous ? Il me semble que si e est élément neutre à droite, on doit avoir : ae = a.

[invitec317278e]

Oui, c'est n'importe quoi...
procédons autrement :

Soit a
il existe b tel que ab=e
calculons ea.
ea=aba=ae=a parce que l'on vient de montrer que l'inversibilité était vraie des deux cotés, et par associativité.

(j'ai de toute façon utilisé l'associativité à chaque ligne, pour donner un sens aux triples produits...)