Bonjour,
J’aimerai trouver la proba P[yi=0] et la log vraisemblance d’un échantillon (y1,…,yn).
Je dispose d’une variable latente Yi* qui suit une loi de poisson de paramètre m.
F(y*)=( exp –m m y* ) / y* ! avec m>0 et y*appartenant aux entiers naturels
yi = 1 si yi*≥1
0 si yi*=0
Voici ce que j’ai trouvé :
P(yi=0) = 1 - p(yi=1)
= 1 – p(yi*≥1)
= 1 – [p ((exp –m m y* ) / y*! ≥1)]
= 1 – [p ((exp –m m y*) ≥ y*! )]
= 1 – [p ((exp –m m y*) - y*! ≥ 0)]
= 1 – [1 - p ((exp –m m y*) - y*! ≤ 0)]
=1 – 1 + p ((exp –m m y*) - y*! ≤ 0)
= p ((exp –m m y*) - y*! ≤ 0)
= F(X≤x)
La fonction de répartition est : φ((exp –m m y*) - y*!) (la fonction de répartition n’est pas en fonction du paramètre m ?)
Vraisemblance individuelle :
F(yi/ φ) = p(yi=1)yi p(yi=0)1-yi
Vraisemblance de l’échantillon :
L(φ) = ∏ F(yi/ φ)
= ∏ p(yi=1)yi p(yi=0)1-yi
= ∏ (1- φ((exp –m m y*) - y*!) yi φ((exp –m m y*) - y*!)1-yi
Log vraisemblance :
L(φ) = ∑ (yi log[ 1 - φ((exp –m m y*) - y*!] + (1-yi) log [φ((exp –m m y*) - y*!)])
=ýN (yi log[ 1 - φ((exp –m m y*) - y*!] + (N- ýN) log [φ((exp –m m y*) - y*!)]
Avec ý= 1/N ∑YI
Merci d’avance
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