[Licence 1] Déterminants

[invitea7d486d5]

Bonjour,

Je suis en vacances et je commence faire des exercices que nous ont donné les profs avant les partiels de juin. Aujourd'hui je fais la feuille sur les déterminants et je bloque sur un exercice. Je vais donc vous mettre ce que j'ai déjà fait (au cas où il y aurait des erreurs) et je vais vous mettre l'exercice qui me bloque et mes pistes de réflexions.

Exercice 1.
Calculer les déterminants des matrices suivantes.
J'ai utilisé la règle de Sarrus.




Determinant = -2





Determinant = 10





Determinant = 109


Exercice 2.
1. Calculer la comatrice de A =


Pour cela j'ai fais pour chaque a_ij comme pour le premier exemple:
A₁₁ = (-1)¹⁺¹ * det = 2
Et ainsi de suite... Ce qui donne:
Comatrice de A =

2. Calculer le déterminant de A.
J'utilise toujours la règle de Sarrus.




Determinant = -5

3. En déduire l'inverse de A.
J'ai utilisé la formule:
Ce qui me donne:



Exercice 3.
C'est sur cet exercice que je bloque totalement.
1. Déterminer les valeurs pour lesquels = 0
J'ai donc pensé faire un k² - 2 = 0 donc k² = 2 donc k =
Mais je ne pense pas du tout être sur la bonne voie.

2. Discuter des solutions du système suivant les valeurs de k.

Et la je n'ai vraiment pas d'idée car je ne trouve aucun moyen d'enlever les k.

Merci beaucoup et bonne journée!
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[inviteaf1870ed]

Pour ton dernier exercice, tu es sur la bonne voie. Cependant si k²=2, on a deux solutions : k=+/- rac(2)

Ton système se met sous une forme matricielle :

(k 2) (x) = (5)
(1 k) (y) = (2)

Si le déterminant de ta matrice est non nulle, elle est inversible et le système admet une seule solution. Je te laisse la calculer.

Sinon il faut remplacer k par les valeurs qui annulent le déterminant. Le système peut avoir une infinité, ou zéro solutions.

[invitea7d486d5]

Bonjour Ericc et merci pour ta réponse.

Le premier point du dernier exercice à donc pour solutions et ?

Pour le second point je dois t'avouer que je ne vois pas du tout comment faire. J'ai compris comment tu as mis en forme (franchement je n'y aurait pas pensé) mais je ne vois pas comment faire pour calculer le déterminant!

[inviteaf1870ed]

Tu ne trouves pas qu'il a un air de famille avec celui que tu as calculé ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7d486d5]

Par rapport à la question juste au dessus?

Oui nous avions conclu que pour k ayant la valeur ou , le déterminant de notre matrice serait 0. Cela voudrait donc dire qu'il faut que x ou y possèdent les mêmes valeurs pour que le déterminant soit nul?

Ce qui me chiffonne a vrai dire c'est la matrice:


Y aurait il un moyen de la faire passé de l'autre coté?
Cela donnerait il:



Merci beaucoup!

[invite6f25a1fe]

Juste pour info, essayes d'éviter la règle de sarrus, ce n'est pas très performant si on l'applique sans chercher (cad en calculant tous les termes : dommage, il y en a plein qui valent 0 !).

Connais tu le calcul des déterminants par développement sur une ligne ou une colonne. Ca sera beaucoup plus simple (car tu n'auras pas besoin de calculer plein de termes qui au final feront 0). Par exemple, dans ton premier exemple on peut développer par rapport à la dernière ligne :
Du coup, je sais que je n'ai qu'un terme à calculer qui sera 1*(3*0-2*1)=-2 (qui est bien la valeur de ton déterminant)

[invitea7d486d5]

Merci Scorp pour ton astuce!
Cela veut donc dire que l'on peut calculer le rang d'une matrice grâce à une seule colonne ou ligne? C'est vrai que c'est beaucoup plus rapide avec ta façon de faire! Merci

[inviteaf1870ed]

Je pense que tu as une vision encore confuse de tout cela. Je ne sais pas sur quel cours tu travailles, mais je te conseille de bien le lire et le comprendre avant de te lancer là dedans.
Tu peux regarder ici : http://tanopah.jo.free.fr/seconde/gasysteme.html pour le système de 2 équations à 2 inconnues, mais je t'encourage vivement à bien assimiler toutes les bases avant de résoudre des systèmes "à l'aveuglette"

[invite6f25a1fe]

Merci Scorp pour ton astuce!
Cela veut donc dire que l'on peut calculer le rang d'une matrice grâce à une seule colonne ou ligne? C'est vrai que c'est beaucoup plus rapide avec ta façon de faire! Merci

Non pas tout à fait ; on développe par rapport à une ligne (ou une colonne), mes autres lignes/colonnes vont avoir un rôle. L'avantage, c'est qu'on voit tout de suite les termes qui vont être nuls. Ca facilite donc le calcul.

Tu peux aller voir ici (mais l'approche est un peu trop théorique peut être) : http://www.ann.jussieu.fr/~berco/LM125/LM125-10.pdf