Série entière

[Bartolomeo]

Bonjour,
soit une série entière avec le rayon de convergence et .

Montrer les propositions suivantes:
a) .
b) Si et sont bornées sur , alors est constante.
c) si M(r) est le maximum de toutes les normes avec , alors il s´en suit pour tout k entier naturel.


J´ai trouvé la a), pour la b) je ne suit pas sûr si la réponse est correcte:
b) J´utilise le théorème de l´holomorphie des séries entières qui dit que, si une série entière possède un rayon de convergence alors la série entière est une fonction holomorphe sur . D´apres c) puisque alors est bornée et d´après le theorème de Liouville est constante.

Ca colle pas parce que je montre uniquement que la fonction f est bornée pour z=0. Y a il un moyen plus simple et correct pour la réponse b).

Pour la c) un coup de pouce serait le bienvenu!

Cordialement!
Bart
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[Thorin]

Salut,

pour la b) :


pour tout r positif, on a .

comme f est bornée sur par M, on a, pour tout r positif :


Ainsi, est , en tant que fonction de r, bornée.
ainsi,

donc, f est constante

[Thorin]

pour la c), sers-toi à nouveau de la a).

[Bartolomeo]

pour la b) :

ainsi,

donc, f est constante

je ne comprends pas pourquoi

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

et bien si, par exemple, était non nul, on aurait qui n'est pas borné, en fonction de r.

[Bartolomeo]

Merci!
Fallait y penser!

Pour la c) j´ai essayé d´écrire
puisque est positif.
Est ce que c´est suffisant?

[Thorin]

Je ne vois pas d'où viennent ces inégalités (surtout la dernière : ce qui compte n'est pas que k!/r^k soit positif, mais plutôt que ce soit plus grand que 1).

La piste que je proposais est d'écrire que , et d'en tirer, grâce à la 1), que

d'où, d'où le résultat

[Bartolomeo]

Merci encore!
Faut que je m´entraine moi!