pb d'arithmétique

[invite0d9b859e]

Bonjour,
Voici l'énoncé:
Montrer que si pgcd (a, b) = pgcd (a, c) = 1, alors pgcd (a, bc) = 1
J'arrive à le prouver par la décomposition en facteurs premiers mais dans l'énoncé, on nous suggère d'utiliser le théorème de gauss, or les hypothèses ne coïncident pas. Donc, si quelqu'un a une idée, n'hésitez pas
Merci
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[Seirios]

Bonjour,

Sinon, tu peux dire que comme , on peut trouver tel que , soit en multipliant par c, ; or , divise a et bc, et donc ; ainsi, divise et .

[Seirios]

Pour utiliser le théorème de Gauss, tu peux prouver que . Tu t'appuies sur le théorème de Bezout : donc on peut trouver tels que ; d'où en soustrayant les deux égalités : , et donc divise a, et donc , d'où ; tu peux ensuite conclure en utilisant le théorème de Gauss.

[invite0d9b859e]

Bonjour Phys2,

J'ai bien compris la première réponse sans utiliser le pivot de Gauss, mais la seconde je comprends pas comment tu en déduis que PGCD(b,c) divise a.
Soit d=PGCD(b,c), alors on a d divise (u'-u)a, mais comment tu sais que d divise a?
Je ne vois pas non plus comment tu déduis que PGCD(b,c)=1
Voila, merci pour tes réponses

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Salut !

euh... pourquoi on aurait pgcd(b,c)=1 ????

les seuls hypothèses sont pgcd(a,b)=pgcd(a,c)=1 ... ca n'as aucune raison d'impliquer quoique ce soit sur le fait que b et c serait premier entre eux !

[invite0d9b859e]

Après réflexion c'est vrai PGCD(a,b)=PGCD(a,c)=1 n'implique pas PGCD(b,c)=1
Il suffit de traiter un contre-exemple
a=3; b=7; c=14
on a bien PGCD(a,b)=PGCD(a,c) mais PGCD(b,c)=7!!!

[Seirios]

Bien sûr, une erreur s'est glissée dans ce que j'ai écrit.

[invite0d9b859e]

Par contre si on suppose b et c premiers entre eux (on a donc pgcd(a,b)=pgcd(a,c)=pgcd(b,c)= 1) comment prouver alors en utilisant le théorème de gauss que pgcd(a,bc)=1?

[invitedb2255b0]

Supposons que pgcd(a,bc)>1. Alors il existe p premier telque p divise a et p divise bc.

Donc p divise b ou p divise c. (thm de Gauss)
Si p divise b, alors p divise a et p divise b, ce qui est absurde puisque pgcd(a,b)=1.
Donc p divise c, mais alors pgcd(a,c)>p ce qui est une nouvelle fois absurde puisque pgcd(a,c)=1.
Donc on aboutit dans tous les cas à une absurdité, donc pgcd(a,bc)=1.

[invite0d9b859e]

J'avais pas du tout pensé à raisonner par l'absurde, en tout cas merci beaucoup pour votre aide à tous