Bonjour,
Soit f dans R2[X] ->R3
P|->(P(u),P(v),P(w))
Montrer l'injectivité de f puis montrer que quelque soit a1, a2, a3 appartenant à R3 il existe un unique P tel que P(u)=a1, P(v)=a2, P(w)=a3
Pour l'injectivité j'ai dit quelque soit P, P' appartenant à R2[X] tel que
f(P)=f(P') on a (P(u),P(v),P(w))=(P'(u),P'(v), P'(w)) donc P=P' ?
Après pour l'autre question je vois pas trop comment faire.
Merci de votre aide =)
Salut
Pour l'injectivité, si tu as deux polynômes P et Q qui sont tels que leur degré soit 2 et f(P)=f(Q) alors ils ont 3 points communs, sont de degré 2 donc sont égaux (leur différence à 3 points communs avec 0 et c'est un polynôme de degré 2).
Pour l'existence et l'unicité :
Tu peux t'aider des polynômes de Lagrange à partir de a,b et c tu peux construire un polynôme qui passe par a,b et c. L'unicité découle de l'injectivité de f, s'il y en avait deux, alors leur image par f est la même et l'injectivité de f permet de conclure
Donc avec mon raisonnement je peux en déduire que P=Q ?
Oui mais dans ton raisonnement tu n'expliques pas le lien entre f(P)=f(P') et P=P', c'est bien parce que P est de degré 2
Pour l'injectivité il suffit de montrer que ker( f ) = {0} car nous sommes en dimension finie et que dim ( R2[x] ) = dim ( R^3 ) = 3
quel que soit P € Ker(f) f(P)=0 => P(u)=P(v)=P(w)=0
Donc P a trois racines , or P€ R2[x] il ne possède donc que 2 racines au maximum d'après le théorème fondamentale de l'algèbre
Ainsi P = 0 et Ker(f) = {0}
Pour la seconde partie de ton exercice :
Comme f est injective elle est donc bijective ( car nous sommes en dimension finie et egalité des dimension des espaces de départ et d'arrivé )
Ainsi à tous triplet ( a , b , c ) il existe un unique polynome P tel que P(u) = a , P(v) = b et P(w) = c
Juste à vérifier rapidemment que f est linéaire
Ok donc pour l'injectivité soit P un élément de R2[X] appartenant à ker f donc f(P)=0
donc P(u)=0,P(v)+0,P(w)=0 donc Ker(f) = {0}
donc f injective c'est meiux comme sa ?
cela va de soit , un exercice d'algèbre commence en générale par la preuve de la linéarité ... , d'ailleurs j'ai fait une petite erreur de raisonnement , pour montrer l'injectivité avec le résultat ker(f) = 0 , il ne faut pas forcément avoir dim(R2[x]) = dim(R^3) ! Petite boutade désolé !
Oui mais n'oublie pas de dire que P est de degré 2 et qu'elle admet 3 racine ce qui est vrai si P = 0 d'après le théorème de d'Alembert Gauss !
