Petit jeu avec des fonctions périodiques

[Quinto]

Ca marche pas les trucs du genre:
f(x)=cos(Pix/e)+cos(x)?
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[deep_turtle]

Héééééé l'autre !!! On a dit pas d'exemple pour le moment !!!! Et si en plus c'est pour me piquer le mien !!

[martini_bird]

Ca marche pas les trucs du genre:
f(x)=cos(Pix/e)+cos(x)?

Salut,

Oui, c'est autorisé.

grr Quinto, tu ne pouvais pas t'abstenir de donner un contre-exemple!!! :P

[deep_turtle]

C'est autorisé... et c'est bon ? ou c'est autorisé et on peut aller se rhabiller ??

Arghh non on a dit pas d'indice... grmblblbl...

[martini_bird]

Bon ben je crois que c'est le moment de donner le feu vert, par la force des choses!

Alors, allez-y: qu'avez-vous donc mijoté?

[Quinto]

Oups j'ai tout fait capoter, désolé, je ne savais pas qu'il ne fallait rien dire...

[deep_turtle]

Bah non, c'est pas grave, il fallait bien que quelqu'un craque !

bon ben moi j'avais pensé comme Quinto :

[Le_boulet]

aie aie aie !! Pas bon.

Je n'ai pas fait les calculs mais intuitivement, je ne vois pas pourquoi Pi *x serait l'élément perturbateur d'une fonction de X dans une sommation de 2 fonctions circulaires.

Pourrait-on m'expliquer?

[martini_bird]

deep_turtle et Quinto seraient-il dans le faux? Une démonstration? Une contre démonstration?

Que de suspens!

[Chip]

J'avais pensé comme Quinto et deep : au moins deux coefficients ayant un rapport irrationnel...

[invitea77054e9]

aie aie aie !! Pas bon.

Je n'ai pas fait les calculs mais intuitivement, je ne vois pas pourquoi Pi *x serait l'élément perturbateur d'une fonction de X dans une sommation de 2 fonctions circulaires.

Pourrait-on m'expliquer?

Je n'en suis vraiment pas sûr, j'ai peur de dire une grosse bêtise, mais cos(Pi*x) est 2-périodique alors que cos(x) est 2*Pi-périodique, donc vu que ces deux fonctions ont des périodes non proportionnelles, leur somme ne peut être périodique.
Par contre, si on avait considéré cos(b*x) avec b rationnel, à la place de cos(Pi*x), ça n'aurait pas marché.

[invitea77054e9]

...vu que ces deux fonctions ont des périodes non proportionnelles...

On oubliera volontier cet horrible bout de phrase, il est tard, je commence à dérailler .

[Le_boulet]

Je viens de tracer votre fonction, elle est périodique avec T=6.

Mais bon, je me suis peut-être trompé.

[invitea77054e9]

Je viens de tracer votre fonction, elle est périodique avec T=6.

Mais bon, je me suis peut-être trompé.

Tu veux parler de cos(Pi*x)+cos(x). Vérifions si elle est bien 6-périodique.
En x=0, on cos(Pi*x)+cos(x)=2, et cos(Pi*(x+6))+cos(x+6)=cos(6*P i)+cos(6)=1+cos(6) ce qui est visiblement différent de 2 .
Donc, non cette fonction n'est pas 6-périodique.

[Le_boulet]

Exacte, j'ai dit une grosse bêtise !

En tout cas, "à l'oeil", elle semble bien périodique. Bon je sais, "à l'oeil", c'est pas très mathématique ...

[Bleyblue]

Moi j'avais pensé comme deep_turtle et Quinto.

On peut démontrer que si f(x) et g(x) sont périodiques dont le rapport des priodes n'est pas rationnel alors (f + g)(x) et (f.g)(x) ne sont pas périodiques.

Par exemple :



ne sont pas périodiques.
etc.

[Bleyblue]

Si f et g sont périodiques on a :

f(x + cT1) = f(x)
g(x + dT2) = g(x)

T1 et T2 étant les périodes de f et g respectivement. c et d sont des constantes entières.

Si on a h(x) = f(x + cT1) + g(x + cT1) mais le rapport de T1/T2 n'est pas rationnel.
T1 ne peut donc pas être exprimé comme le produit de T2 par une constante entière et inversément.
On n'aura donc jamais cT1 = dT2 et donc jamais g(x + cT1) = g(x)

Ca prouve quelque chose vous croyez ?

[invitebf65f07b]

ok, alors c'est parti pour une démo par l'absurde...

soit f1 et f2 deux fonctions de périodes respectives T1 et T2.
considérons T1 et T2 incommensurables (T1/T2 irrationnel), et la fonction g=f1+f2.
Supposons que g est périodique, on note T sa plus petite période, on a donc g(t+T)=g(t).
D'où l'on tire f1(t+T)-f1(t)=f2(t)-f2(t+T).
Or les fonction h1 et h2 définies par h1(t)=f1(t+T)-f1(t) et h2(t)=f2(t)-f2(t+T) admettent respectivement T1 et T2 comme périodes, et comme chacun le sait (ou comme quelqu'un d'autre le démontrera ) : si h1=h2 avec T1 une période de h1 et T2 une période de h2 alors T1/T2 est rationnel.

on arrive à la contradiction tant attendue et la fonction g ne peut donc pas être périodique.

[invite33bf3f30]

Pourrait t-il exister une autre méthode que d'utiliser des nombres irrationnels pour avoir une fonction non-périodique ?

[invitebf65f07b]

Pourrait t-il exister une autre méthode que d'utiliser des nombres irrationnels pour avoir une fonction non-périodique ?

ben je pense pas, mais bien sur j'ai pas de preuve pour ça...

juste une petite remarque en passant, on peut mener une démo similaire avec g=f1*f2.

[martini_bird]

Salut,

tout d'abord, merci à tous pour votre participation!

Effectivement, il est possible de construire une fonction non-périodique et l'exemple de deep_turtle, Quinto, etc. le montre.
Je m'en vais de ce pas proposer une démonstration rigoureuse dans la rubrique Révisions pour ceux que ça intéresse.

Je pense comme robert et ses amis qu'il n'y a pas d'autre moyen que de faire intervenir une période (ou plutôt un rapport de période) irrationnelle. Quelqu'un pour tenter une démo?

Cordialement.

[invitec68df109]

Bah non, c'est pas grave, il fallait bien que quelqu'un craque !

bon ben moi j'avais pensé comme Quinto :

Ta formule est valable que si pi est non périodique ... bien sur.

[Quinto]

Je ne sais pas ce qui est entendu par est non périodique, mais si celà signifie qu'il est irrationel, ca fait un bout de temps qu'on sait que c'est le cas.

[invitec68df109]

Je ne sais pas ce qui est entendu par est non périodique, mais si celà signifie qu'il est irrationel, ca fait un bout de temps qu'on sait que c'est le cas.

Désolé pour mon retard ... la démonstration est disponible sur internet ? Tu as piqué ma curiosité .

[erik]

Pour completer la réponse de Quinto,

On peux dire qu'un réel admet un développement décimal périodique (0,051051051....) mais dans ce cas là on peux montrer que le réel est un rationnel (c'est à dire de la forme p/q p et q entier).
On sait que Pi n'est pas rationnel donc il ne peux posseder un développement décimal périodique.

[invitec68df109]

Développement décimal périodique, c'est ce que j'entendais. Donc, même sur un domaine infini, pi les décimales de pi évolueront toujours de façon déterminée mais non-périodiques.

[erik]

Donc, même sur un domaine infini, pi les décimales de pi évolueront toujours de façon déterminée mais non-périodiques.

C'est exactement ça.

[.:Spip:.]

salut
j'ai vu le topic hier a 23 h, j'avais la flemme a cette heure de conjecturer une equa alors, j'ai lu les messages jusqu'a la page 2 où deep donnait

f(x)=cos(pi x )+ cos x

j'ai alors cherché hier une demo montrant que cette fonction n'est pas périodique. Je ne sais pas si elle est correcte :

soit la fonction f tq
pour tt x € R, il existe a € R* tq

f(x)=cos(a x )+ cos x


je pose g(x)=cos( x )
et h(x)= cos (ax )

g(x) est pérodique de periode T = 2 n pi (n€N)
h(x)------------------------ T' = 2 m pi /a (m€N)

alors f est périodique lorsque l'on a une période de g qui est egle a une période de h. on peut ecrire...

T'=T
2 m pi /a = 2 n pi

si a est un entier, alors on peut trouver facilement m & n.
par contre, si a vaut par ex pi, je ne vois guerre d'autre solution a l'equation que m=n=0 ce qui ne donne pas de période.

le fait que 3.14 soit proche de 3 va donner visuellement un courbe presque périodique. tompeur lorsque l'on trace vite fait la courbe....


qu'en dites vous ?

[invitebbdbf477]

Bonjour,

soit la fonction f tq
pour tt x € R, il existe a € R* tq

f(x)=cos(a x )+ cos x

Ce passage n'est pas correct, les quantificateurs sont à l'envers. Disons plutot, il existe tel que pour tout , on ait...

je pose g(x)=cos( x )
et h(x)= cos (ax )

g(x) est pérodique de periode T = 2 n pi (n€N)
h(x)------------------------ T' = 2 m pi /a (m€N)

alors f est périodique lorsque l'on a une période de g qui est egle a une période de h.

Mais le principal problème est ici. Je ne sais pas s'il faut interpréter "lorsque" comme une condition nécessaire et suffisante, mais si c'est le cas, comme la suite le laisse entendre, c'est faux. Il n'est pas nécessaire que et soient périodiques pour que le soit. Contre-exemple :

.

Cordialement.