[Suites] Convergence vers 0

[invite1fce1628]

Salut, je cherche un problème, dont voici l'énoncé :

"Soit (a_n)_n∈IN∈(IR₊^*)^IN ; on définit (u_n)_n∈IN par u₀>0 et pour tout n∈IN, u_n+1=u_n+a_n/u_n. Montrer que si la suite (u_n)_n∈IN converge, alors la suite (a_n)_n∈IN converge vers 0."

(j'ai noté IN l'ensemble des entiers naturels (par lisibilité) et IR celui des réels)

J'ai du mal à rédiger tout ça, pourriez-vous m'aider ?

Ce que je ferais, c'est que je poserais (pour tout n de IN) la fonction f continue telle que (pour tout x de IR) f(x)=x+a_n/x.

Donc si (u_n)_n∈IN converge vers un réel l, alors par unicité de la limite, l=f(l)=l+a_n/l <=> a_n=0... Mais ça prouve pas la convergence de la suite (a_n)...

Merci d'avance
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[invite986312212]

peut-être écrire a(n) = u(n) (u(n+1)-u(n))

[invite1fce1628]

Salut ambrosio, merci d'avoir pris le temps de te pencher sur la question.

Il me suffit donc de dire que a(n) = u(n) (u(n+1)-u(n)) et donc que si la suite (un) converge vers l, alors a(n) tend vers l*0 ? Cette rédaction est suffisante ?

Merci pour ton aide.

[invite1fce1628]

En attendant la réponse à ma dernière question, je soumets une question subsidiaire...

"Cette condition est-elle suffisante ?"

Il me faut donc trouver une suite (an) qui converge vers 0 telle que définie précédemment, et qui fait diverger la suite (un)...

Je vois pas trop...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

il faut faire attention au cas où la limite de $u_n$ est $+\infty$ (peut-être que tu n'appellerais pas ça converger du reste)

[invite1fce1628]

il faut faire attention au cas où la limite de $u_n$ est $+\infty$ (peut-être que tu n'appellerais pas ça converger du reste)

Dans ce cas, elle est divergente.

Une idée pour le contre-exemple ?

[invite986312212]

il faudrait que u(n) tende vers +infini très lentement, de sorte que (u(n+1)-u(n)) tende vers 0 "plus vite". Tu dois connaître une fonction qui tend vers +infini plus lentement que toutes les fonctions puissances (positives).

[invite1fce1628]

Si je prends la suite logarithmique ? Dans ce cas j'ai (un) qui diverge et pourtant (an) converge bien vers 0.

Tout ça suffit ?

[invite1e1a1a86]

déjà je vais corriger une faute que tu as fait ci dessus
"Donc si (un)n∈IN converge vers un réel l, alors par unicité de la limite, l=f(l)=l+an/l <=> an=0... Mais ça prouve pas la convergence de la suite (an)..."
tu fais un passage a la limite sur n mais il reste du an ce qui est faux. par contre si tu supposais que an converge (vers a) alors oui tu pourrais dire l=l+a/l

la méthode de trouver an en fonction de un convient elle (et oui, si Un va a l'infini, on dit que Un diverge vers l'infini (et pas converge))

pour le contre-exemple, il faut An qui tende vers 0 et que un diverge (soit vers l'infini, ou diverge juste)
Comme dit ci dessus, si un diverge tres lentement ça devrait marcher... et une suite qui diverge très lentement c'est par exemple ln(n)
alors an=ln(n)*(ln(n+1)-ln(n))=ln(n)ln(1+1/n)~ln(n)/n->0
(tu connais les équivalents?)

[invite1fce1628]

Salut SchliesseB, merci pour ton topo très clair.

Effectivement, ça marche très bien pour ln(n).

Merci à vous deux et à bientôt !