Expression d'un ensemble de points.

[Elie520]

Bonjour tout le monde !
Est-ce que vous sauriez m'éclairer sur une question qui me trotte dans la tête ? J'espère que vous pourrez m'aider =)

Voici mon problème :

Soit, dans le plan , le cercle de centre et de rayon , et un point fixé extérieur à ce cercle.

Soit .

Question : Comment caractériser ? (par une équation ou bien géométriquement...)

Pour ma part, je vois à quoi ressemble à peu près l'ensemble, mais pas facile à décrire, puis je ne sais pas comment mettre un schéma en lien. Il ressemble un peu à tous les points extérieurs, à ce type de courbe http://www.futura-sciences.com/uploa...amp-120307.jpg mais vraiment que un petit peu...
Mais vraiment qu'un petit peu !

Voila donc si quelqu'un a une idée, elle est la bienvenue ! =)

Merci, bonsoir !
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[invitea3eb043e]

L'ensemble des points tels qu'il y ait égalité des distances, c'est évidemment la médiatrice de AA'. L'ensemble des points tels qu'il y ait inégalité c'est le demi-plan limité par la médiatrice.
On veut que tous les points du cercle soient plus près de A que de A'. Le cas-limite sera celui où la médiatrice de AA' est tangente au cercle.
Ca devient alors assez simple à mettre en équation grâce à Papy Thalès, en prenant des coordonnées polaires centrées en A qui donneront l'équation polaire de la frontière.

[Elie520]

Donc si j'ai bien compris, E est l'ensemble des points A' tels que la médiatrice de AA' ne recoupe pas et que A' soit dans le demi-plan ne contenant pas le cercle c'est cela ?

Mais pour mettre cela en équation (la frontière) je ne vois pas...

[Elie520]

Et finalement, la frontière ressemblerait plus à un cercle dont on aurait tiré le contour en un point pour le ramener vers l'intérieur ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Une conchoïde de cercle, ça s'appelle, je crois me souvenir. L'idée est de trouver la frontière en coordonnées polaires. Pour chaque valeur de l'angle de AA' avec l'axe des x (pris sur OA), on trouve une distance AA' et c'est ça l'équation polaire.

[Elie520]

Avec, ce type d'équation, peut pratiquement se ramener à des équations cartésiennes, mais cette manière présente l'avantage de pouvoir décrire un cercle en une équation si je comprends bien.
Mais dans ce cas-là, il faut forcément choisir l'origine du repère à l'intérieur du cercle pour n'avoir qu'une solution pour un angle donné.

Donc dans ce cas : http://timupsinsa.ifrance.com/source.../epicyclo1.gif, ce n'est pas possible si ?

[invitea3eb043e]

C'est un peu ça le point faible des coordonnées polaires : il faut bien choisir l'origine et ce n'est pas toujours évident. Si on choisit mal cette origine, ça donne des trucs pas possibles. Les coordonnées cartésiennes ne présentent pas cette difficulté, ou alors moins.

[Elie520]

Okay !! Merci beaucoup en tout cas pour ton aide =)

À bientôt ! Cordialement.
Elie520.

[invite7553e94d]

Juste pour s'amuser un peu : il s'agit de tout ce qui est à l'extérieur (enveloppe comprise) de ceci. Le point A est choisi en (3,0) sans modification du problème.


C'est amusant de voir l'ensemble passer du plan tronqué d'une cardioïde à un cercle quand la distance entre A et O va de 1 à

[Elie520]

En imaginant le même problème dans l'espace et avec une sphère, la frontière s'appellerait un conchoïde de sphère ?

[Elie520]

Juste pour s'amuser un peu : il s'agit de tout ce qui est à l'extérieur (enveloppe comprise) de ceci. Le point A est choisi en (3,0) sans modification du problème.


C'est amusant de voir l'ensemble passer du plan tronqué d'une cardioïde à un cercle quand la distance entre A et O va de 1 à

C'est marrant, car à l'inverse, tous les points qui se situent dans la surface blanche à l'intérieur de la bleu appartiennent à .
C'est pile le problème inverse

[invite7553e94d]

Ha oui tiens