Récurence continue ?

[invite7553e94d]

Bonjour, il y a une propriété intuitive que je n'arrive pas à démontrer :

J'ai deux fonctions de nommées et . Je sais que

Comment puis-je démontrer que est une constante ?

Merci beaucoup (pour info je cherche à démontrer que la cycloïde est une brachistochrone).
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[inviteb4b89598]

ça semble évident pourtant !
pour clarifier les choses, pose u(t) = f(v(t), a(t)) et calcule u'(t) comme une limite.

Par ailleurs, la récurrence continue n'existe pas. Ici u(t+dt) = u(t) implique que u est constante sur un voisinage de t. La raison pour laquelle "ça marche" est que la propriété est vraie sur un voisinage de tout t. Si tu avais par exemple u(0+dt) = u(0), tu n'aurais pu conclure que sur un voisinage de 0 (pense à la fonction x->x²).

En espérant t'avoir aidé

[inviteb4b89598]

(d'ailleurs u(t) n'est pas constant sur un voisinage de t, elle est seulement "proche" d'une fonction constante)

[inviteb4b89598]

enfin dans l'exemple ou on a seulement u(t+dt) = u(t) pour t fixé.

BREF, je vais me coucher moi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7553e94d]

ça semble évident pourtant !
pour clarifier les choses, pose u(t) = f(v(t), a(t)) et calcule u'(t) comme une limite

Oui c'est évident ! Mais c'est justement le problème
Ha ! idée ! Ce raisonnement suivant est-il valide ?


Merci.

[Médiat]

Salut prgasp77,

J'ai deux fonctions de nommées et . Je sais que

Comment puis-je démontrer que est une constante ?

La propriété est fausse pour v et alpha des constantes

[invite7553e94d]

Salut prgasp77,
La propriété est fausse pour v et alpha des constantes

Je ne suis pas sûr de comprendre Médiat. tu veux dire que pour et deux fonctions de constantes la propriété que je cherche à démontrer est fausse ? Propriété de mon premier message ?

[Médiat]

Je ne suis pas sûr de comprendre Médiat. tu veux dire que pour et deux fonctions de constantes la propriété que je cherche à démontrer est fausse ? Propriété de mon premier message ?

Bonjour,

Ce que je voulais dire c'est que
Si v et alpha sont des fonctions constantes


et donc

même si f(x, y) n'est pas une fonction constante.

Ce qui ne correspond pas à la question qui elle envisage , j'ai donc lu trop vite et me suis planté, désolé.

[invite7553e94d]

Pas de problème.
Donc mon idée de démonstration te semble correcte et rigoureuse ? Merci.

[Médiat]

Donc mon idée de démonstration te semble correcte et rigoureuse ? Merci.

Utiliser la dérivée de u sans savoir que u est dérivable, cela me gêne un peu ...
Et j'avoue ne pas être fan du mélange de dt avec o().

[inviteaf1870ed]

En fait le problème c'est la définition du dt. Qu'est ce au juste ?
Appelons u(t) la fonction f(v(t),a(t)).
J'ai l'impression que ta propriété est "Pour tout t, il existe un voisinage de t où u est constante", non ?

[invite4793db90]

Salut,

j'avoue que le titre de ce fil m'avait allèché, et j'en profite donc pour demander (notamment à Médiat) si une récurrence permettait de démontrer une propriété pour tout élément d'un ensemble non-dénombrable. Intuitivement, je répondrais non (contrairement à la descente de Fermat qui se généralise au cas transfini, me semble-t-il), mais comme il y a parfois des surprises, ma question n'est peut-être pas si inutile que ça.

Cordialement.

[inviteaf1870ed]

Il y a déjà un cas trivial où tu peux passer d'un esemble non dénombrable à un ensemble dénombrable (par exemple dans le cas qui nous occupe si tu arrives à le montrer sur un intervalle de taille >1).

[invite091bc544]

Le problème, de façon générale, est :
Soit défini sur un ouvert I, telle que:

Montrer que est constante sur I
On note l'ensemble des voisinages de t relativement à I.

Et là, il faut supposer que I est connexe : sinon, imaginons que I soit l'union (disjointe, évidemment) de 2 ouverts, si f prend 2 valeurs différentes sur chacune des parties élémentaires, on se peut pas conclure. (Quoique, si on des ouverts relatifs...)
Donc Avec I connexe, on doit pouvoir arriver à qq chose... Je continue de réfléchir, mais je pense qu'il fallait déjà bien poser le problème

[Médiat]

Salut,

j'avoue que le titre de ce fil m'avait allèché, et j'en profite donc pour demander (notamment à Médiat) si une récurrence permettait de démontrer une propriété pour tout élément d'un ensemble non-dénombrable.

Il n'y a pas de problème pour faire une récurrence sur les cardinaux non dénombrable, la différence avec la récurrence standard, c'est qu'il faut montrer, non seulement
,
mais il faut ajouter pour les cardinaux limites :


(même chose pour les ordinaux)

D'où d'ailleurs, l'intérêt de la suite des , qui épuise les cardinaux par une suite indexée par les ordinaux.

(contrairement à la descente de Fermat qui se généralise au cas transfini, me semble-t-il)

Il te semble bien .
Si tu pars, par exemple) d'un ensemble de cardinal , un ensemble de cardinal strictement plus petit serait dénombrable, et un ensemble de cardinal strictement plus petit serait fini, et tu arrives à 0 en un nombre fini d'étapes.
C'est, d'ailleurs, ce point qui est l'élément clé dans la démonstration que les suites de Goodstein converge vers 0 (dans ZFC).
Cordialement,

[invite7553e94d]

Utiliser la dérivée de u sans savoir que u est dérivable, cela me gêne un peu ...
Et j'avoue ne pas être fan du mélange de dt avec o().

C'est vrai ...

En fait le problème c'est la définition du dt. Qu'est ce au juste ?
Appelons u(t) la fonction f(v(t),a(t)).
J'ai l'impression que ta propriété est "Pour tout t, il existe un voisinage de t où u est constante", non ?

C'est tout aussi vrai.

Je vais devoir vous en dire un peu plus pour que vous puissiez m'aider alors. Je cherche à redémontrer que la cycloïde est une brachistochrone.
L'idée est d'utiliser la loi de Sneel-Decartes dans un milieu homogène d'indice . Celle-ci devient alors . Et j'aimerais conclure que ce rapport est constant.

Pensez-vous que je doive partir du cas discret (milieu hétérogène dont l'indice du milieu évolue par "strate") puis de faire tendre la largeur de ces "strates" vers zéro ?

[invite4793db90]

Salut,

mais il faut ajouter pour les cardinaux limites :

Exprimé ainsi, ça paraît en effet évident, au moins intuitivement. Merci.

C'est, d'ailleurs, ce point qui est l'élément clé dans la démonstration que les suites de Goodstein converge vers 0 (dans ZFC).

Oui, c'est ce sujet que j'avais quelque part en tête, mais je n'aurais pas su le retrouver explicitement. Merci à nouveau.

Cordialement.

[invite7553e94d]

J'ai une petite idée, qu'en pensez-vous ?

Soit une fonction définie sur .
On note l'ensemble des voisinages de relativement à .


Je cherche à démontrer que pour tout de il existe un voisinage de tel que soit constante sur cet interval ; autrement dit :



Or la contraposée n'est-elle pas évidente ?
Si n'est pas constante sur , alors pour tout ouvert centré sur un certain de , f n'est pas constante sur ces ouverts ; autrement dit :

[invite7553e94d]

Encore une idée, un peu plus approfondie cette fois.

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Soit une fonction définie sur sur le connexe à valeur dans .
On note l'ensemble des voisinages de relativement à .

On cherche à démontrer que si est localement constante, alors elle est globalement constante.

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Soient , et , est un ouvert.
En effet, (puisque sur ce voisinage est constante et vaut ).

Le complémentaire de peut être défini par
et est donc ouvert en tant qu'union d'ouverts.
est donc un fermé.

Conclusion : est ouvert et fermé dans un connexe. Étant non vide (il contient ), on a .

CQFD ?