Changement de repère d'un vecteur

[invite1038f851]

Bonjour,

j'ai un problème auquel je ne trouve pas de solutions et j'espère que vous allez pouvoir m'aider, parce que mes notions de mathématiques sont loin !

Je m'explique :

Soit A et B connus en X,Y,Z dans le repère 1.
Soit A également connu en X,Y,Z dans le repère 2.

Comment calculer les coordonnées de B dans le repère 2, sachant que les deux repères ont la même unité mais pas la même origine, ni la même orientation (l'axe Z reste orienté de la même manière) ????

Est-ce possible ??

Vraiment merci pour le gros coup de main que j'espère vous allez pouvoir me donner !
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[invite9617f995]

Bonjour,

Votre repère reste-t-il orthonormal ? Et à quoi correspond ce changement de repère, une rotation dans le plan xOy ?

[invite1038f851]

Le premier repère est un repère dit local, dans lequel on connait la position des deux points (étape de calibration) et le second repère où seul un des deux points est connu en coordonnées est un repère dit géoréférencer, c'est à dire des coordonnées terrestre.

Donc les repères sont considérés orthonormaux.

Il s'agit d'une application dans le domaine de la topographie.

J'espère que vous allez pouvoir m'aider

[invite15928b85]

Bonsoir.

Je propose la démarche suivante :

Si O₁ est l'origine du repère 1, O₂ l'origine du repère 2, l'égalité vectorielle suivante est vérifiée :

O₂B = O₁B + O₂A - O₁A

Il faut donc exprimer les composantes de O₁A et O₁B dans le repère 2, et donc connaître la rotation qui permet de passer du repère 1 au repère 2. Sans cela, point de salut, je pense ...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9617f995]

Hmm, tout ça ressemble pas mal à de l'algèbre linéaire : des changements de base et donc des matrices de passage.
Par la suite on notera les vecteurs en gras et pour chaque grandeur dans x dans l'ancien repère, on notera x' la même grandeur dans le nouveau repère. Par exemple si l'abscisse de A est x_A dans le premier repère, alors on note x'_A son abscisse dans le nouveau.

Y a en fait pas besoin de matrice qui sont juste un outil pratique, on peut faire la même chose autrement. En gros, l'idée c'est d'exprimer les vecteurs de l'ancienne base (i,j,k) en fonction des vecteurs de la nouvelle (i',j',k') .
Visiblement ici k=k'. Ensuite, il existe a et b tel que i=ai'+bj'. Ensuite, le repère étant orthonormé, on aura j=bi'-aj' (enfin il me semble ).

On note (x_A,y_A,z_A) et les coordonnées de A et (x,y,z) celle du vecteur AB dans la première base.
On a AB=xi+yj+zk=axi'+bxj'+byi'-ayj'+zk'=(ax+by)i'+(bx-ay)j'+zk'.
Donc les coordonnées de AB dans le nouveau repère sont (x',y',z')=(ax+by,bx-ay,z).

Or on a dans le nouveau repère B(x'_A+x',y'_A+y',z'_A+z') donc les coordonnées de B sont (x'_A+ax+by,y'_A+bx-ay,z'_A+z)

Maintenant, tout ce qui vous reste à faire c'est de trouver a et b et ça je peux pas le faire sans connaître exactement le truc.
Par contre, comme le repère reste normé, on aura a²+b²=1 donc il existera t tel que a=cos(t) et b=sin(t), ce qui me faisait penser à une rotation. Comme ici on passe d'un repère local à un repère géoréférencé, peut-être connaissez-vous l'angle de rotation entre le repère terrestre et le repère local, si oui, il devrait être égal à t.

Voilà, j'espère que ça vous aide.
Silk

[invite1038f851]

Merci pour vos réponses, je suis en train d'y réfléchir...

Sinon comment faire si je connais les matrices rotation et translation entre les deux repère et toujours les même infos sur A et B.

Vous direz que je pourrais calculer B directement avec ces matrices, mais je souhaite que le vecteur AB reste le même dans les deux repères...

Merci pour votre aide !

[invite1038f851]

Je viens de penser à ceci, je voulais savoir si c'est juste :

Soient XAB,YAB,ZAB les coordonnées du vecteur AB dans le repère 2 et xAB, yAB, zAB celles dans le repère 1.

( XAB ) = ( ) ( xAB ) ( )
( YAB ) = ( matrice rotation ) x ( yAB ) + ( matrice translation )
( ZAB ) = ( ) ( zAB ) ( )


et une fois que j'ai les coordonnées du vecteur dans le repère 2, je peux déduire celles du point B à partir de celle de A, non ?

Merci pour votre avis ! (désolé pour la présentation de la réponse mais j'espère que vous comprendrez qu'il s'agit de matrice 3 lignes et 1 ou 3 colonnes)

[invite1038f851]

Mince j'avais pas vu que les espace avaient été supprimé. Désolé.

En fait c'est :

coordonnées du vecteur AB dans le repère 2 = matrice rotation * coordonnées du vecteur AB dans le repère 1 + matrice translation.

Désolé et merci pour vos réponses !