Fonctions intégrables...

[invite6a155a96]

Bonsoir,

Voilà, je révise mes oraux et je suis tombé sur un exercice extrait d'une planche d'oral que je n'arrive pas à résoudre. Voici l'énoncé de la partie qui me pose problème :

On note l'ensemble des fonctions continues sur et telles que , est intégrable sur .
Comparer à l'ensemble des fonctions intégrables sur du point de vue de l'inclusion.


J'ai essayé de voir si et réciproquement (j'ai recherché des contre-exemples pour démontrer l'impossibilité de l'une ou de l'autre inclusion mais je n'ai rien trouvé d'intéressant...), et au final je n'aboutis à rien... quelqu'un pourrait me donner un ptit coup de pouce?

Merci!
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[invite1e1a1a86]

si on regarde en +infini, f(x)/(x+s)~f(x)/x
si f est intégrable sur un voisinage de +l'infini, f(x)/x aussi mais l'inverse est faux (exemple f(x)=1/x)

ainsi, E n'est pas inclus dans L (f(x)=1/(x+1) par exemple)

ensuite en 0, f(x)/(x+s)~f(x)/s qui est intégrable dès que f l'est (en 0)

ainsi, il est facile de montrer que L est inclus dans E

[invite6a155a96]

merci beaucoup !