Justifier un intervalle d'une courbe

[invite328c4d97]

Bonjour,
Je dois montrer que l'intervalle d'étude [-3pi/4;pi/4] pour la fonction f(x)=(sinx+cosx)/√2 suffit pour tracer la courbe.

Je ne vois pas comment le justifier
Merci pour votre aide
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[invitec17b0872]

Bonjour,

Cherchez quelle est la période la fonction. Voyez si f(x+pi) n'admet pas une relation simple avec f(x). Déduisez-en des propriétés de périodicité et de symétrie. (Je propose f(x+pi) car l'intervalle proposé est large de pi)
Ces derniers arguments devraient vous aider à justifier de la restriction de l'intervalle d'étude.

[invite328c4d97]

oui en faisant f(x+pi) je trouve f(x)=-f(x) mais je ne vois toujours pas comment justifer

[invitec17b0872]

Prenons un exemple :
f(x)=sin(x)
f est 2pi périodique, on peut se contenter de l'étudier sur -pi;pi
Mais en plus, f admet un centre de symétrie en O, cette propriété permet de connaitre l'allure de f sur -pi;0 si on connait celle sur 0;pi. On peut donc restreindre l'étude à l'intervalle 0;pi.
C'est la même démarche qu'il faut suivre ici.
A la rigueur, si vous préférez, tracez la courbe représentative et cherchez un centre de symétrie, montrez qu'il existe et concluez sur l'intervalle à adopter.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite328c4d97]

Je viens de démontrer que f admet un centre de symétrie en pi/4 et que la fonction est 2pi périodique.Mais l'intervalle à démontrer est [-3pi/4;pi/4]
D'ou sort le -3pi/4?

[invitec17b0872]

Ben c'est bien ça, nan ?
Périodicité => on choisit un intervalle large de 2pi. A priori n'importe lequel
Mais la fonction admet aussi une propriété de symétrie en Pi/4. On va donc choisir l'intervalle de 2pi centré autour de Pi/4, càd [-3pi/4;5pi/4].
Sauf que la symétrie nous fait dire que c'est inutile de s'intéresser deux fois à la même chose, donc on va s'intéresser qu'à la première moitié de l'intervalle, les résultats sur la seconde pouvant être retrouvés par symétrie.
Or la première moitié de [-3pi/4;5pi/4], c'est [-3pi/4;pi/4].
Voilou !

[invite328c4d97]

Merci pour votre aide

[invitec17b0872]

Petite précision : il me semble qu'en Pi/4, la courbe admette un axe de symétrie plutôt qu'un centre. Mais ça ne pose pas trop de problème dans le raisonnement.

Bonne suite