ensemble nZ

[inviteec33ac08]

Bonjour,

Si x appartient à nZ cela veut-il dire que x est un entier relatif et qu'il est congru à n ?
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[Seirios]

Bonjour,

, donc c'est l'ensemble des multiples de n (ce que tu écris est également correct).

[invitebe0cd90e]

Sauf que "congru a n" ca ne veut rien dire... Je prefererais : "congru a 0 modulo n".

Ensuite, nZ est un sous ensemble de Z, donc par definition x est un entier relatif.

[inviteec33ac08]

merci =) En fait je regarde le programme de spé pour l'année prochaine et je ne comprend pas certains point que signifie 6 avec une barre au dessus ? Merci de tes réponses =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

C'est une notation de la classe d'équivalence de l'élément 6 pour une relation d'équivalence, de congruence ici je suppose.

[inviteec33ac08]

Par exemple j'ai un exo:

Résoudre les équations dans Z/7Z puis dans Z/12Z
x²-5x+6=0 avec un trait sur 5 et un autre sur 6. Merci de m'aider =) car je ne comprend pas trop.

[invitebe0cd90e]

En gros, ca veut dire que tu regardes ces equations d'abord modulo 7, puis modulo 12. Cad qu'au lieu de prendre les operations habituelles (addition, multiplication), tu prends a chaque fois le reste du resultat dans la division par 7 (par 12).

par exemple, modulo 7, .

[invitebe0cd90e]

Et pour l'equation, tu prends la formule habituelle : , mais tu cherches ensuite une racine modulo 7 et 12. Par exemple, si tu as suivi, modulo 7 combien fait ? Ensuite, tu as "evidemment" ... Je te laisse en deduire les solutions modulo 7.

[inviteec33ac08]

ok donc en gros je dois lire cette équation de cette façon x²-5x+6=0
x²-5 congru à 0 modulo 7*x+6 congru à 0 modulo 7=0 ?

[Seirios]

Pour la première équation, tu peux essayer de factoriser. Dans , , et comme 7 est un nombre premier, est un corps et est donc intègre. Donc x=1 ou x=4.

[inviteec33ac08]

Ben je trouve 2 et 3 modulo 7 c'est sa ? En fait sa marche exactement comme une équation banale du second degré sauf que l'inconnu est congru à la solution de l'inconnu modulo 7 en reprenant l'exemple non ?

[invitebe0cd90e]

x²-5 congru à 0 modulo 7*x+6 congru à 0 modulo 7=0 ?

Ca ca ne veut malheureusement rien dire

[inviteec33ac08]

Euh phys2 tu te serais pas trompé pour factoriser l'équation en utilisant le discriminant je ne trouve pas les mêmes solutions ?

[inviteec33ac08]

Ca ca ne veut malheureusement rien dire

Non mais ce que je veux dire c'est que les réels constants sont congru à quoi en fait ?

[invitebe0cd90e]

Ben je trouve 2 et 3 modulo 7 c'est sa ? En fait sa marche exactement comme une équation banale du second degré sauf que l'inconnu est congru à la solution de l'inconnu modulo 7 en reprenant l'exemple non ?

Tu as raison, on va dire que c'est un mauvais exemple, en ce sens que l'equation a à la base des solutions entieres... Mais il peut arriver qu'une equation n'aie pas de solution dans Z, mais qu'elle en aie dans Z/nZ pour un certain n.

[invitebe0cd90e]

Non mais ce que je veux dire c'est que les réels constants sont congru à quoi en fait ?

D'abord ici on ne parle pas de reels, la notion de congruence est propre aux entiers, en tous cas dans ce contexte. Ensuite on ne parle jamais de congruence tout court, on parle de "congruence modulo un entier". Formellement, un entier est congru à un entier modulo si est divisible par .

[inviteec33ac08]

Tu as raison, on va dire que c'est un mauvais exemple, en ce sens que l'equation a à la base des solutions entieres... Mais il peut arriver qu'une equation n'aie pas de solution dans Z, mais qu'elle en aie dans Z/nZ pour un certain n.

Aurais tu un exemple ? Je vois pas trop comment une équation qui n'a pas de solutions entières peut en avoir dans nZ ?

[inviteec33ac08]

D'abord ici on ne parle pas de reels, la notion de congruence est propre aux entiers, en tous cas dans ce contexte. Ensuite on ne parle jamais de congruence tout court, on parle de "congruence modulo un entier". Formellement, un entier est congru à un entier modulo si est divisible par .

Ben en fait je veux dire que 5 avec une barre et dans Z/7Z se lit 5 modulo 7 non ?

[invitebe0cd90e]

Aurais tu un exemple ? Je vois pas trop comment une équation qui n'a pas de solutions entières peut en avoir dans nZ ?

Je n'ai pas dit dans nZ, mais bien dans Z/nZ !!

Un exemple : dans Z/7Z. Cette equation n'a pas de solutions entieres (puisque n'est pas un entier) mais elle a des solutions modulo 7 (puisque par exemple modulo 7). Autrement dit, 2 a des racines dans Z/7Z, mais pas dans Z.

[invitebe0cd90e]

Ben en fait je veux dire que 5 avec une barre et dans Z/7Z se lit 5 modulo 7 non ?

Oui, mais donc il n'est pas question de reels dans l'histoire ! Et il n'y a bien que des trucs "constants" contrairement a ce que tu disais dans un de tes messages....

[inviteec33ac08]

euh peut tu me dire ce que signifie l'ensemble Z/7Z ?

[invitebe0cd90e]

euh peut tu me dire ce que signifie l'ensemble Z/7Z ?

Une maniere "concrete" de le voir, qui cache une partie de la definition, c'est : , muni des operations "+" et "*" qui sont prise au sens "prendre le reste du resultat dans la division par 7".

[inviteec33ac08]

Et quel est la différence avec 7Z ?

[invitebe0cd90e]

Z/7Z c'est l'ensemble des restes possibles dans la division par 7, cad ce que je te donne au dessus. 7Z c'est l'ensemble des multiples de 7, c'est donc un ensemble infini : {0,7,14,21,28,...}

[inviteec33ac08]

Ah ok c'est plus clair =). Ben encore merci pour tes explications jobherzt .

[Elie520]

"5 modulo 7" non ?

Cela ne veut rien dire, ca peut se lire "reste dans la division euclidienne de 5 par 7" si tu veux

[Médiat]

Cela ne veut rien dire, ca peut se lire "reste dans la division euclidienne de 5 par 7" si tu veux

Ce n'est pas mieux !
Il faudrait le lire "Classe de 5 modulo 7".

[Seirios]

Euh phys2 tu te serais pas trompé pour factoriser l'équation en utilisant le discriminant je ne trouve pas les mêmes solutions ?

Oui bien sûr, on a .

[Elie520]

Bonjour (je m'insère dans la discussion ).

Supposons qu'on ait l'équation : (a entier) dans , alors on peut la transformer en ?

Donc par exemple : Avec dans on peut faire : et sont solutions?

Et si cela est juste, peut-on aller plus loin en disant que comme on cherche des solutions entières dans , x est entier, et donc on peut transformer en D'où : et donc et sont solutions ?
Je sais que c'est tiré par les cheveux mais bon...

Et enfin, dans ce genre "d'ensemble de résolution", ne devrait-on pas plutôt essayer avec directement pour aller plus vite ?

Cordialement.

[Seirios]

Supposons qu'on ait l'équation : (a entier) dans , alors on peut la transformer en ?

Oui.

Donc par exemple : Avec dans on peut faire : et sont solutions?

De manière générale, cela fonctionne parce que l'on se place dans un structure intègre (ce qui est le cas ici parce que 7 est premier).

Et si cela est juste, peut-on aller plus loin en disant que comme on cherche des solutions entières dans , x est entier, et donc on peut transformer en D'où : et donc et sont solutions ?
Je sais que c'est tiré par les cheveux mais bon...

Oui, ça fonctionne (même remarque que précédemment).

Et enfin, dans ce genre "d'ensemble de résolution", ne devrait-on pas plutôt essayer avec directement pour aller plus vite ?

Ici ce serait possible, mais en générale ce n'est pas si simple