Bijection de K^n dans K.

[Elie520]

Bonsoir à tous !

J'ai une petite question à vous poser.

Soit et deux bijections de dans et la fonction définie de dans par :


Peut-on dire (ceci est une question de vocabulaire) que est une bijection de dans ?

En attendant vos réponses, je considérerai que l'on peut (avec des guillemets )

Donc on peut définir une "bijection" de dans , de même on pourrait de dans etc...

Mais peut-on définir une "bijection" de dans ?
Je n'ai pour l'instant pas trouvé comment faire (même si je n'ai mené que de minces recherches), et j'ignore donc si cela est possible.

Et d'une manière générale, savez-vous si l'on peut, considérant un ensemble de cardinal infini, définir une "bijection" de dans ?? .

Si quelqu'un a une réponse, une idée de réponse ou même une réflexion, il est la bienvenue sur ce fil

Elie520
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[invitebe0cd90e]

Salut,

Oui, c'est bien une bijection, et tu aurais pu le verifier toi meme facilement

Ceci dit , je je ne vois pas l'interet de f et g, l'application (x,y) -> x+iy est deja une bijection. cette derniere a le bon gout d'etre lineaire, en plus. Bref, R^2 et C c'est vraiment moralement "la meme chose", on peut vraiment trouver de bonnes bijections.

Par contre le " de meme de Z^2 dans R" est un peu leger, je ne vois pas comment tu passes de l'un a l'autre. Et de fait il n'existe pas de bijection de Z^n dans R qq soit n.

Enfin, il existe des bijection de R^2 dans R, ce qu'on sait abstriatement car ces deux ensembles ont meme cardinal, mais on ne sait pas en ecrire une explicitement, contrairement a ce qu'il se passe plus haut.

[invitebe0cd90e]

Je n'avais pas vu la derniere question, en fait si E est n'importe quel ensemble infini (je preferele noter E, K ca fait trop "corps"), alors E^n est en bijection avec E, encore une fois parce que cs ensembles ont meme cardinal, mais ca n'est pas explicite en général. (sauf dans le cas de N et N^2 par exemple).

[Elie520]

Ceci dit , je je ne vois pas l'interet de f et g, l'application (x,y) -> x+iy est deja une bijection.

Ben on a bien f(x)=x et g(y)=y bijectives ... bref...

Par contre le " de meme de Z^2 dans R" est un peu leger, je ne vois pas comment tu passes de l'un a l'autre. Et de fait il n'existe pas de bijection de Z^n dans R qq soit n.

En fait tu as raison, je me suis trompé, et je voulais parler d'une "application injective", je me moque de la surjectivité. Désolé d'avoir parlé de "bijection"...

Je n'avais pas vu la derniere question, en fait si E est n'importe quel ensemble infini (je preferele noter E, K ca fait trop "corps"), alors E^n est en bijection avec E, encore une fois parce que cs ensembles ont meme cardinal, mais ca n'est pas explicite en général. (sauf dans le cas de N et N^2 par exemple).

En fait, je n'ai pas du réussir à faire comprendre ce que je voulais dire, surement à cause d'une mauvaise utilisation de vocabulaire de ma part...

Donc en gros, je cherche à savoir s'il existerait une fonction, par exemple , définie par avec tous dans telle que si on me donne un donné, je puisse retrouver exactement les valeurs des variables (a,b,c,d...).

Et ceci, je ne sais pas le faire si je veux que soit définie de dans .

J'espère m'être fait mieux comprendre

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Ben on a bien f(x)=x et g(y)=y bijectives ... bref...

Bah oui je sais, mais le fond de ton message c'etait "est ce qu'il existe une bijection entre...", donc autant prendre la plus simple, surtout qu'elle a des propriétés sympas.

En fait tu as raison, je me suis trompé, et je voulais parler d'une "application injective", je me moque de la surjectivité. Désolé d'avoir parlé de "bijection"...

En fait, il suffit de construire une injection de Z^2 dans N, par exemple, par exemple en se debrouillant avec l'unicité de la decomposition en nombres premiers pour avoir une injction de Z^2 dans n'importe quel ensemble infini. Si tu veux arriver dans R directement, suffit de trouver deux nombres reels Z-lineairement independant, et donc reprendre le meme principe que pour R^2 -> C, par exemple l'application est une injection comme tu cherches.

En fait, je n'ai pas du réussir à faire comprendre ce que je voulais dire, surement à cause d'une mauvaise utilisation de vocabulaire de ma part...

Donc en gros, je cherche à savoir s'il existerait une fonction, par exemple , définie par avec tous dans telle que si on me donne un donné, je puisse retrouver exactement les valeurs des variables (a,b,c,d...).

Et ceci, je ne sais pas le faire si je veux que soit définie de dans .

J'espère m'être fait mieux comprendre

Une fonction injective, quoi Comme dit il en existe. En expliciter une c'est moins evident, faut faire du cas par cas. Je t'ai donné la piste pour Z et N. Ca doit marcher aussi pour Q, en gros, pour R a mon avis c'est pas possible d'en trouver une explicite.

[Elie520]

Par exemple l'application est une injection comme tu cherches.

.

Je ne suis pas d'accord, si on a .
Exemple : si . En effet :

En fait, j'ai beau avoir un peu chercher, je pense que cela n'est pas possible. Mais quant à la démontrer...
En tout cas, je peux au moins te démontrer que si cela existe, f n'est pas de la forme . (Pour le cas R^2 dans R)

[Elie520]

Par exemple en se débrouillant avec l'unicité de la décomposition en nombres premiers pour avoir une injection de Z^2 dans n'importe quel ensemble infini.

Tu aurais un exemple ? Je ne vois vraiment pas.

[invitebe0cd90e]

.

Je ne suis pas d'accord, si on a .
Exemple : si . En effet :

En fait, j'ai beau avoir un peu chercher, je pense que cela n'est pas possible. Mais quant à la démontrer...
En tout cas, je peux au moins te démontrer que si cela existe, f n'est pas de la forme . (Pour le cas R^2 dans R)

Hum, lis la phrase en entier, je dis bien "Pour reprendre le principe de ton application de R² dans C", mais ce que je donne est une injection de Z^2 dans C, comme le laisse voir tout le reste de la phrase..

Pour ce qui est d'une injection de R^2 dans R, jai bien dit a la fin du message que c'etait probablement impossible (sans utiliser l'axiome du choix, par exemple, donc clairement non explicite)

[invitebe0cd90e]

Tu aurais un exemple ? Je ne vois vraiment pas.

Bah le principe pour une injection de N^2 dans N, tu prends deux nombres premiers distincts p et q et tu prends l'application



pour le faire de Z^2 dans N suffit de prendre deux autres nombres premiers r et s et de mutliplier le terme de droite par r si a est negatif et par s si b est negatif, ou tout autre truc du genre.

[Médiat]

Pour ce qui est d'une injection de R^2 dans R, jai bien dit a la fin du message que c'etait probablement impossible (sans utiliser l'axiome du choix, par exemple, donc clairement non explicite)

Trouver une bijection de IR² dans ]0, 1[² est très facile, et pour trouver une bijection de ]0, 1[² dans ]0, 1[, on construit un nombre telle que sa 2n^ième décimale en binaire soit la n^ième décimale du développement binaire propre du premier réel, et sa (2n+1)^ième décimale en binaire soit la n^ième décimale du développement binaire propre du deuxième réel.

[Elie520]

Mais ce que je donne est une injection de Z^2 dans C, comme le laisse voir tout le reste de la phrase..

Ah d'accord, je n'avais pas compris. Ben en effet oui, c'est ce à quoi j'avais pensé quand j'ai dit "de même pour Z^2 dans R" (en parlant, a tort, de bijection).

Trouver une bijection de IR² dans ]0, 1[² est très facile, et pour trouver une bijection de ]0, 1[² dans ]0, 1[, on construit un nombre telle que sa 2n^ième décimale en binaire soit la n^ième décimale du développement binaire propre du premier réel, et sa (2n+1)^ième décimale en binaire soit la n^ième décimale du développement binaire propre du deuxième réel.

Mais dans ce cas, une telle application n'est pas définissable à l'aide des fonctions usuelles si ?
Puis si par exemple, les deux réels étaient et , comment exprimerait-on le réel obtenu par ton application si ce n'est avec une suite infinie de chiffres inutilisable ?

[Elie520]

Bah le principe pour une injection de N^2 dans N, tu prends deux nombres premiers distincts p et q et tu prends l'application



pour le faire de Z^2 dans N suffit de prendre deux autres nombres premiers r et s et de mutliplier le terme de droite par r si a est negatif et par s si b est negatif, ou tout autre truc du genre.

En effet, je vois mieux Merci pour cet exemple !

[SchliesseB]

Mais dans ce cas, une telle application n'est pas définissable à l'aide des fonctions usuelles si ?
Puis si par exemple, les deux réels étaient et , comment exprimerait-on le réel obtenu par ton application si ce n'est avec une suite infinie de chiffres inutilisable ?

Et alors?
une bijection ne nécessite pas d'être "utilisable" ni même d'être "définissable à l'aide de fonctions usuelles". On demandait une bijection "explicite" (ce qui voulait dire dans le contexte sans l'axiome du choix) et c'est ce que Médiat a donné.

Il existe des bijections de dans et même (en suivant le même principe d'entrelacement des décimales) de dans .

[Médiat]

Mais dans ce cas, une telle application n'est pas définissable à l'aide des fonctions usuelles si ?

Cela ne l'empêche pas d'exister (cf. SchliesseB).

Puis si par exemple, les deux réels étaient et , comment exprimerait-on le réel obtenu par ton application si ce n'est avec une suite infinie de chiffres inutilisable ?

Comment exprimer-vous si ce n'est avec une suite infinie de chiffres inutilisable ? Peut-être y arrivez-vous parce qu'il existe des suites dont est la limite ce qui permet de calculer toutes les décimales, ce que l'on sait faire avec la fonction que je propose ; il suffit de la baptiser pour la manipuler (donner un nom (à une chose, un concept, une personne) c'est dominer, beau sujet pour philosophes ).

Si je baptise cette fonction , alors ce que vous demandez est simplement qui n'est ni plus ni moins manipulable que chacun des opérandes.

[Elie520]

Okay, je suis tout a fait d'accord avec vous deux sur le fait que cela existe, j'ai compris.

Mais maintenant, je me demandais s'il existait en plus des applications injectives de R^n dans R (ou juste R^2 dans R) et qui soient définissables avec les fonctions usuelles ? (Je sais, c'est demander beaucoup, mais sait-on jamais )

En attendant, merci à tous pour vos réponses !

[Aznarog]

En essayant d'écrire une fonction telle que donnée par Médiat et si on admet comme usuel la partie entière et le modulo on obtient (enfin si je ne ma suis pas trompé ) :

[Elie520]

Ah jolie formule merci, par contre, la somme infinie ne me semble pas usuelle

Mais en fait, je ne sais pas si vous l'avez soupçonné, mais si je m'intéresse à cela, c'est pour savoir si l'on peut regrouper deux informations en une seule, ce qui servirait par exemple à un ordinateur pour limiter son temps de calcul (idée un peu farouche je le conçois )

Si on admet comme usuel la partie entière et le modulo.

Petite Remarque : considérer la partie entière comme usuelle revient à aussi considérer le modulo comme tel :

[Médiat]

Mais en fait, je ne sais pas si vous l'avez soupçonné, mais si je m'intéresse à cela, c'est pour savoir si l'on peut regrouper deux informations en une seule, ce qui servirait par exemple à un ordinateur pour limiter son temps de calcul (idée un peu farouche je le conçois )

Un ordinateur ne travaille pas avec des réels, et on peut tout ramener à des entiers, et dans ce cas il existe des tonnes de solutions, dont une que j'apprécie pariculièrement : la fonction de Gödel qui permet de coder toute suite finie d'entiers, avec 3 entiers, donc un seul
Voir là : http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6..._beta_function (ou mon document pdf sur l'arithmétique, page 12 et 16).
Mais cela ne résoudra pas tous les problèmes de mémoire.