Surface de cercle.

invite25d94112 · 27/07/2010, 08h15

Bonjour,

Je cherche à résoudre une énigme de "Géocaching" intitulée "Geomath". ( http://www.geocaching.com/seek/cache...0-456da84e1ff1 )

Sur ce forum, j'ai trouvé une discussion sur les surface de cercles qui traite de la surface d'intersection des deux cercles. Cela ne m'a pas encore permis de comprendre, vu mais capacité nulle en math (Après trente ans, j'ai du oublier)

J'ai déjà réussi à traduire le problème comme suit:

Le rayon du cercle A est 1, je cherche le rayon du cercle B
La distance entre le Centre du cercle A et le centre du cercle B est 1

Je cherche pour quel rayon du cercle B la surface commune au deux cercles est égale.

Merci pour votre aide.

**Médiat** · 27/07/2010, 08h19

Bonjour,

Envoyé par Herostratos

J'ai déjà réussi à traduire le problème comme suit:

Le rayon du cercle A est 1, je cherche le rayon du cercle B
La distance entre le Centre du cercle A et le centre du cercle B est 1

Je cherche pour quel rayon du cercle B la surface commune au deux cercles est égale.

Egale à quoi ? Votre question ressemble à celle de Coluche "Quelle est la différence entre un canard"

invité576543 · 27/07/2010, 08h30

Sur le site d'origine la question est le découpage en deux parties de surface égale d'un disque A par un arc de cercle centré sur le bord de A.

invite25d94112 · 27/07/2010, 09h09

Merci Michel,

Je citerais plutôt Confucius "Une image vaut mille mots". Je renvoyai vers le dessin de l'énigme sur le site geocaching, énigme Geomath. Je ne pense pas pouvoir mettre le dessin ici.

Donc égale est ( la surface occupée dans le cercle A par le cercle B) et ( la surface non occupée dans le cercle A par le cercle B)

Et surtout, le rayon du cercle B est sur la circonférence du cercle A. En effet La distace du centre de A et du centre de B est 1 et le rayon de A est 1.

C'est pour cela qu'il y à intersection de deux cercles et des surfaces communes et non communes. Le rayon de B doit être de 1,xxx

J'espère avoir formulé correctement cette fois, désolé de la confusion.

Bien à vous.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**KerLannais** · 27/07/2010, 15h39

Bonjour,

Moi je trouve, avec trois décimales exactes après la virgule (je n'ai pas arrondi)
$\text{[math]}$
mais bien entendu ce n'est pas la valeur exacte et il n'est pas difficile d'avoir les décimales suivantes. Un simple calcul d'intégrale double donne la formule de l'aire commune au deux disques en fonction du rayon du disque de centre $\text{[math]}$ qui varie de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ . Ensuite une petite dichotomie à l'aide d'un logiciel de calcul scientifique (ou simplement d'une calculatrice) permet de calculer $\text{[math]}$ avec autant de décimales que l'on veut (en restant raisonnable quand même

). Je ne pense pas qu'il puisse y avoir une jolie formule vu la tête de l'équation qu'il doit vérifier il a de forte chance d'être transcendant (mais sait-on jamais

).

Je suppose que ce qui t'importe c'est trouver la solution avec le niveau de math qui est le tiens. Je vais donc te donner une piste en essayant de rester le plus élémentaire et le plus intuitif possible.

Il y a une manière élégante de calculer des aires de surfaces à partir de leur périmètre ou d'un morceau de leur périmètre. Cette méthode ce justifie rigoureusement à l'aides de formule du type Green-machin chose (il y a beaucoup de variantes), mais tu n'as pas besoin de connaître ces formules puisque l'idée est intuitive. Tu as une surface qui dépend d'un paramètre variable $\text{[math]}$ . Pour chaque valeur de $\text{[math]}$ tu as une surface différente que l'on notera $\text{[math]}$ . On va également supposer ici que les surfaces s'imbriquent l'une dans l'autre quand le paramètre croit. Autrement dit, si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ est contenue dans $\text{[math]}$ . On supposera également que $\text{[math]}$ évolue continûment avec $\text{[math]}$ c'est à dire intuitivement que si $\text{[math]}$ varie très peu alors $\text{[math]}$ aussi (en fait rigoureusement il faut supposer plus mais bon là on raisonne intuitivement). On suppose aussi que $\text{[math]}$ est positif et que $\text{[math]}$ . Dans ton problème $\text{[math]}$ est la surface de la partie commune aux deux disques dont tu aimerais déterminer la formule en fonction de $\text{[math]}$ pour savoir pour quelle valeur de $\text{[math]}$ elle égale la moitié de l'aire du disque de centre $\text{[math]}$ . Autrement dit tu veux résoudre
$\text{[math]}$

L'idée intuitive est que l'on peut calculer des aires en les découpant en tranches infiniment fines, c'est ce qu'on appelle le calcul intégral (et qu'on a appellé autrefois le calcul infinitésimal) mais on peut faire ce découpage de façon naturellement compatible avec la fonction $\text{[math]}$ . On prend une valeur de paramètre $\text{[math]}$ et une variation infiniment petite $\text{[math]}$ du paramètre (tu peux imaginer seulement très petite si tu ne parviens pas à concevoir l'infiniment petit). On passe alors de la surface $\text{[math]}$ à la surface $\text{[math]}$ en ajoutant une fine tranche qui n'est qu'une partie du périmètre (ou tout le périmètre dans d'autres exemples) épaissie d'une épaisseur proportionnelle à $\text{[math]}$ . Dans notre cas (vu la définition de $\text{[math]}$ ) c'est à peut de chose près $\text{[math]}$ (rigoureusement c'est $\text{[math]}$ à un infiniment petit d'ordre supérieur près), mais c'est aussi souvent le cas dans la plupart des exemples. Si $\text{[math]}$ est la longueur du morceau de périmètre de la surface qui varie lorsque $\text{[math]}$ croit alors la surface de la tranche est (à un infiniment petit d'ordre supérieur près) $\text{[math]}$ . Dans ton cas $\text{[math]}$ est simplement la longueur de l'arc de cercle du rayon de centre $\text{[math]}$ qui est contenue dans le disque de centre $\text{[math]}$ . Le calcul de la longueur de cet arc est un petit exercice de géométrie élémentaire qui je pense est dans tes cordes

On a alors
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Ce raisonnement ne semble pas rigoureux mais en fait il peut se justifier rigoureusement et pour t'en convaincre je vais te donner quatre exemples:

exemple 1:
On considère un rectangle de largeur $\text{[math]}$ fixée mais de longueur $\text{[math]}$ variable (il s'allonge par un bout). Ici $\text{[math]}$ est donc la longueur du côté par lequel le rectangle se prolonge on a donc (cela se voit sur un dessin)
$\text{[math]}$
c'est donc une constante qui ne dépend pas de $\text{[math]}$ le paramètre et c'est bien une partie du périmètre total du rectangle. On sait par ailleurs que
$\text{[math]}$
La formule précédente est bien vérifiée puisque
$\text{[math]}$

exemple 2:
On considère le carré de côté $\text{[math]}$ variable. Si on fixe le coin inférieur gauche du carré par exemple, le carré s'étend alors par son coté supérieur et son coté droit ce qui donne
$\text{[math]}$
On sait que
$\text{[math]}$
On a bien
$\text{[math]}$

exemple 3:
On considère le cercle de rayon $\text{[math]}$ , lorsque le rayon $\text{[math]}$ augmente le disque s'étend à travers son périmètre tout entier et donc
$\text{[math]}$
On sait que
$\text{[math]}$
On a bien
$\text{[math]}$

exemple 4:
Le même raisonnement fonctionne lorsque l'on remplace surface par volume et le périmètre par la surface. Si on considère par exemple la sphère de rayon $\text{[math]}$ , lorsque le rayon augmente la boule s'étend au travers de toute sa surface qui est
$\text{[math]}$
On sait que son volume est
$\text{[math]}$
On a bien
$\text{[math]}$

J'espère que ces exemples t'on convaincu. Avec ce découpage en tranche naturel on peut calculer la surface $\text{[math]}$ comme étant la somme des surfaces $\text{[math]}$ des tranches pour $\text{[math]}$ variant de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ , il s'agit de la somme d'une infinité d'infiniment petits que l'on appelle une intégrale et que l'on note
$\text{[math]}$
Tu as donc juste à trouver $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tel que
$\text{[math]}$

Je te met en caché les formules de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$

Cliquez pour afficher

Comme ça tu pourras me dire si tu trouves comme moi lorsque tu auras toi même trouvé

**KerLannais** · 27/07/2010, 15h46

Oups, il faut rajouter $\text{[math]}$ à la formule que j'ai donné pour $\text{[math]}$ pour qu'elle soit correct, il s'agit d'une erreur d'étourderie

invité576543 · 27/07/2010, 16h15

Il y a une approche plus géométrique.

En notant O le centre du disque à découper (de rayon r), A le centre de l'arc (de rayon R), et B une des intersections de l'arc et du bord du disque; puis α l'angle OAB .

On note déjà que R>r, nécessairement.

La moitié de la surface sous l'arc est

$\text{[math]}$

et on a $\text{[math]}$

L'équation en R n'apparaît pas comme solvable symboliquement, mais une méthode numérique y arrive sans peine.

invité576543 · 27/07/2010, 16h26

Envoyé par Michel (mmy)

La moitié de la surface sous l'arc est

$\text{[math]}$

Hmm... Quelques pi en trop...

Après correction :

$\text{[math]}$

Et wxMaxima trouve 1.158728473018122

**KerLannais** · 27/07/2010, 17h02

Oui on est d'accord l'angle $\text{[math]}$ est tel que
$\text{[math]}$
et donc
$\text{[math]}$
la longueur de l'arc correspondant est donc
$\text{[math]}$
soit l'arc complet (du disque qui découpe dans le disque qui est découpé) est
$\text{[math]}$
Il suffit alors d'intégrer pour trouver
$\text{[math]}$

Et wxMaxima trouve 1.158728473018122

et il certifie que toutes les décimales sont exactes ?

invite25d94112 · 27/07/2010, 17h05

Merci beaucoup pour cette explication magistrale.

Il nous faudra quelques temps pour la comprendre je le craind!

Bien à vous tous.

**Médiat** · 27/07/2010, 17h21

Il y a là une discussion sur un sujet similaire : http://forums.futura-sciences.com/ma...pre-carre.html, surtout le message #17
(le cas du cercle est abordé aussi vers la fin (dernière ou avant-dernière page)).

Sinon il y a bien une 12^aine de pages inutiles sur ce fil

invité576543 · 27/07/2010, 17h50

Envoyé par KerLannais

Il suffit alors d'intégrer pour trouver

La formule que j'ai donnée est obtenue "à vue", c'est la somme des aires des secteurs de disques correspondant aux angles au centre OAB (rayon R) et AOB (rayon r), moins l'aire du triangle OAB (partie commune au deux secteurs).

et il certifie que toutes les décimales sont exactes ?

logiciel libre, "as is"...

invité576543 · 27/07/2010, 17h55

Envoyé par Médiat

Il y a là une discussion sur un sujet similaire : http://forums.futura-sciences.com/ma...pre-carre.html, surtout le message #17
(le cas du cercle est abordé aussi vers la fin (dernière ou avant-dernière page)).

Message #237

La valeur donnée est 0.579364, fois 2 : 1.158728

**Médiat** · 27/07/2010, 17h58

Envoyé par Michel (mmy)

Message #237

Quel courage d'avoir lu ou même simplement parcouru ce fil dont je ne garde pas un excellent souvenir

**MMu** · 28/07/2010, 00h09

Il s'agit du classique "problème de la chèvre" . Pour ceux que ça intéresse il y a aussi l'hyperchèvre

http://les-mathematiques.u-strasbg.f...yperchevre.pdf

Surface de cercle.

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