Surface de cercle.
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Surface de cercle.



  1. #1
    invite25d94112

    Surface de cercle.


    ------

    Bonjour,

    Je cherche à résoudre une énigme de "Géocaching" intitulée "Geomath". ( http://www.geocaching.com/seek/cache...0-456da84e1ff1 )

    Sur ce forum, j'ai trouvé une discussion sur les surface de cercles qui traite de la surface d'intersection des deux cercles. Cela ne m'a pas encore permis de comprendre, vu mais capacité nulle en math (Après trente ans, j'ai du oublier)

    J'ai déjà réussi à traduire le problème comme suit:

    Le rayon du cercle A est 1, je cherche le rayon du cercle B
    La distance entre le Centre du cercle A et le centre du cercle B est 1

    Je cherche pour quel rayon du cercle B la surface commune au deux cercles est égale.

    Merci pour votre aide.

    -----

  2. #2
    Médiat

    Re : Surface de cercle.

    Bonjour,
    Citation Envoyé par Herostratos Voir le message
    J'ai déjà réussi à traduire le problème comme suit:

    Le rayon du cercle A est 1, je cherche le rayon du cercle B
    La distance entre le Centre du cercle A et le centre du cercle B est 1

    Je cherche pour quel rayon du cercle B la surface commune au deux cercles est égale.
    Egale à quoi ? Votre question ressemble à celle de Coluche "Quelle est la différence entre un canard"
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  3. #3
    invité576543
    Invité

    Re : Surface de cercle.

    Sur le site d'origine la question est le découpage en deux parties de surface égale d'un disque A par un arc de cercle centré sur le bord de A.

  4. #4
    invite25d94112

    Re : Surface de cercle.

    Merci Michel,

    Je citerais plutôt Confucius "Une image vaut mille mots". Je renvoyai vers le dessin de l'énigme sur le site geocaching, énigme Geomath. Je ne pense pas pouvoir mettre le dessin ici.

    Donc égale est ( la surface occupée dans le cercle A par le cercle B) et ( la surface non occupée dans le cercle A par le cercle B)

    Et surtout, le rayon du cercle B est sur la circonférence du cercle A. En effet La distace du centre de A et du centre de B est 1 et le rayon de A est 1.

    C'est pour cela qu'il y à intersection de deux cercles et des surfaces communes et non communes. Le rayon de B doit être de 1,xxx

    J'espère avoir formulé correctement cette fois, désolé de la confusion.

    Bien à vous.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitea6f35777

    Re : Surface de cercle.

    Bonjour,

    Moi je trouve, avec trois décimales exactes après la virgule (je n'ai pas arrondi)

    mais bien entendu ce n'est pas la valeur exacte et il n'est pas difficile d'avoir les décimales suivantes. Un simple calcul d'intégrale double donne la formule de l'aire commune au deux disques en fonction du rayon du disque de centre qui varie de à . Ensuite une petite dichotomie à l'aide d'un logiciel de calcul scientifique (ou simplement d'une calculatrice) permet de calculer avec autant de décimales que l'on veut (en restant raisonnable quand même). Je ne pense pas qu'il puisse y avoir une jolie formule vu la tête de l'équation qu'il doit vérifier il a de forte chance d'être transcendant (mais sait-on jamais).

    Je suppose que ce qui t'importe c'est trouver la solution avec le niveau de math qui est le tiens. Je vais donc te donner une piste en essayant de rester le plus élémentaire et le plus intuitif possible.

    Il y a une manière élégante de calculer des aires de surfaces à partir de leur périmètre ou d'un morceau de leur périmètre. Cette méthode ce justifie rigoureusement à l'aides de formule du type Green-machin chose (il y a beaucoup de variantes), mais tu n'as pas besoin de connaître ces formules puisque l'idée est intuitive. Tu as une surface qui dépend d'un paramètre variable . Pour chaque valeur de tu as une surface différente que l'on notera . On va également supposer ici que les surfaces s'imbriquent l'une dans l'autre quand le paramètre croit. Autrement dit, si alors est contenue dans . On supposera également que évolue continûment avec c'est à dire intuitivement que si varie très peu alors aussi (en fait rigoureusement il faut supposer plus mais bon là on raisonne intuitivement). On suppose aussi que est positif et que . Dans ton problème est la surface de la partie commune aux deux disques dont tu aimerais déterminer la formule en fonction de pour savoir pour quelle valeur de elle égale la moitié de l'aire du disque de centre . Autrement dit tu veux résoudre


    L'idée intuitive est que l'on peut calculer des aires en les découpant en tranches infiniment fines, c'est ce qu'on appelle le calcul intégral (et qu'on a appellé autrefois le calcul infinitésimal) mais on peut faire ce découpage de façon naturellement compatible avec la fonction . On prend une valeur de paramètre et une variation infiniment petite du paramètre (tu peux imaginer seulement très petite si tu ne parviens pas à concevoir l'infiniment petit). On passe alors de la surface à la surface en ajoutant une fine tranche qui n'est qu'une partie du périmètre (ou tout le périmètre dans d'autres exemples) épaissie d'une épaisseur proportionnelle à . Dans notre cas (vu la définition de ) c'est à peut de chose près (rigoureusement c'est à un infiniment petit d'ordre supérieur près), mais c'est aussi souvent le cas dans la plupart des exemples. Si est la longueur du morceau de périmètre de la surface qui varie lorsque croit alors la surface de la tranche est (à un infiniment petit d'ordre supérieur près) . Dans ton cas est simplement la longueur de l'arc de cercle du rayon de centre qui est contenue dans le disque de centre . Le calcul de la longueur de cet arc est un petit exercice de géométrie élémentaire qui je pense est dans tes cordes On a alors




    Ce raisonnement ne semble pas rigoureux mais en fait il peut se justifier rigoureusement et pour t'en convaincre je vais te donner quatre exemples:

    exemple 1:
    On considère un rectangle de largeur fixée mais de longueur variable (il s'allonge par un bout). Ici est donc la longueur du côté par lequel le rectangle se prolonge on a donc (cela se voit sur un dessin)

    c'est donc une constante qui ne dépend pas de le paramètre et c'est bien une partie du périmètre total du rectangle. On sait par ailleurs que

    La formule précédente est bien vérifiée puisque


    exemple 2:
    On considère le carré de côté variable. Si on fixe le coin inférieur gauche du carré par exemple, le carré s'étend alors par son coté supérieur et son coté droit ce qui donne

    On sait que

    On a bien


    exemple 3:
    On considère le cercle de rayon , lorsque le rayon augmente le disque s'étend à travers son périmètre tout entier et donc

    On sait que

    On a bien


    exemple 4:
    Le même raisonnement fonctionne lorsque l'on remplace surface par volume et le périmètre par la surface. Si on considère par exemple la sphère de rayon , lorsque le rayon augmente la boule s'étend au travers de toute sa surface qui est

    On sait que son volume est

    On a bien


    J'espère que ces exemples t'on convaincu. Avec ce découpage en tranche naturel on peut calculer la surface comme étant la somme des surfaces des tranches pour variant de à , il s'agit de la somme d'une infinité d'infiniment petits que l'on appelle une intégrale et que l'on note

    Tu as donc juste à trouver et tel que


    Je te met en caché les formules de et de
     Cliquez pour afficher

    Comme ça tu pourras me dire si tu trouves comme moi lorsque tu auras toi même trouvé

  7. #6
    invitea6f35777

    Re : Surface de cercle.

    Oups, il faut rajouter à la formule que j'ai donné pour pour qu'elle soit correct, il s'agit d'une erreur d'étourderie

  8. #7
    invité576543
    Invité

    Re : Surface de cercle.

    Il y a une approche plus géométrique.

    En notant O le centre du disque à découper (de rayon r), A le centre de l'arc (de rayon R), et B une des intersections de l'arc et du bord du disque; puis α l'angle OAB .

    On note déjà que R>r, nécessairement.

    La moitié de la surface sous l'arc est



    et on a

    L'équation en R n'apparaît pas comme solvable symboliquement, mais une méthode numérique y arrive sans peine.
    Dernière modification par invité576543 ; 27/07/2010 à 17h19.

  9. #8
    invité576543
    Invité

    Re : Surface de cercle.

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message

    La moitié de la surface sous l'arc est

    Hmm... Quelques pi en trop...

    Après correction :



    Et wxMaxima trouve 1.158728473018122

  10. #9
    invitea6f35777

    Re : Surface de cercle.

    Oui on est d'accord l'angle est tel que

    et donc

    la longueur de l'arc correspondant est donc

    soit l'arc complet (du disque qui découpe dans le disque qui est découpé) est

    Il suffit alors d'intégrer pour trouver


    Et wxMaxima trouve 1.158728473018122
    et il certifie que toutes les décimales sont exactes ?

  11. #10
    invite25d94112

    Re : Surface de cercle.

    Merci beaucoup pour cette explication magistrale.

    Il nous faudra quelques temps pour la comprendre je le craind!

    Bien à vous tous.

  12. #11
    Médiat

    Re : Surface de cercle.

    Il y a là une discussion sur un sujet similaire : http://forums.futura-sciences.com/ma...pre-carre.html, surtout le message #17
    (le cas du cercle est abordé aussi vers la fin (dernière ou avant-dernière page)).

    Sinon il y a bien une 12aine de pages inutiles sur ce fil
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #12
    invité576543
    Invité

    Re : Surface de cercle.

    Citation Envoyé par KerLannais Voir le message
    Il suffit alors d'intégrer pour trouver
    La formule que j'ai donnée est obtenue "à vue", c'est la somme des aires des secteurs de disques correspondant aux angles au centre OAB (rayon R) et AOB (rayon r), moins l'aire du triangle OAB (partie commune au deux secteurs).

    et il certifie que toutes les décimales sont exactes ?
    logiciel libre, "as is"...

  14. #13
    invité576543
    Invité

    Re : Surface de cercle.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Il y a là une discussion sur un sujet similaire : http://forums.futura-sciences.com/ma...pre-carre.html, surtout le message #17
    (le cas du cercle est abordé aussi vers la fin (dernière ou avant-dernière page)).
    Message #237

    La valeur donnée est 0.579364, fois 2 : 1.158728

  15. #14
    Médiat

    Re : Surface de cercle.

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Message #237
    Quel courage d'avoir lu ou même simplement parcouru ce fil dont je ne garde pas un excellent souvenir
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  16. #15
    invite3240c37d

    Re : Surface de cercle.

    Il s'agit du classique "problème de la chèvre" . Pour ceux que ça intéresse il y a aussi l'hyperchèvre
    http://les-mathematiques.u-strasbg.f...yperchevre.pdf

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