Dérivées successives d'une fonction

[mimo13]

Bonsoir,

Bon, tout en résolvant un exercice, j'avais besoin du résultat suivant que je ne parviens pas à démontrer:

Soit .

Je voudrai montrer que et que .

Ne me dites pas d'utiliser le binôme de Newton car il m'a déjà servi pour avoir une première expression, maintenant j'aurai besoin d'une deuxième afin d'égaliser...

Au début je voulais répondre en disant que si on dérive fois avec , il sera toujours possible de factoriser avec le terme , j'ai même réussi à le monter par une récurrence mais je trouve ca un peu détourné, je cherche une méthode plus directe.

Si vous avez des propositions, je suis preneur !!
Mici
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[Médiat]

Bonjour,

Au début je voulais répondre en disant que si on dérive fois avec , il sera toujours possible de factoriser avec le terme , j'ai même réussi à le monter par une récurrence mais je trouve ca un peu détourné, je cherche une méthode plus directe.

Je suppose que par récurrence vous voulez dire que vous avez calculé explicitement la dérivée p^ième ; je ne vois pas ce qui vous gène ...

[Thorin]

Salut,

on peut écrire un DL à l'ordre n :


on identifie alors, par unicité d'un DL et grâce à la formule de Taylor.

[Thorin]

Note cependant que la récurrence n'est pas absente de ma solution : formule du binôme, formule de Taylor, unicité d'un DL...autant de choses qu'on montre généralement par récurrence, et donc la récurrence est toujours là, mais cachée ; ma solution n'est donc pas plus directe, dans le sens où elle fait surtout appel à plus de résultats.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mimo13]

Salut,

on peut écrire un DL à l'ordre n :


on identifie alors, par unicité d'un DL et grâce à la formule de Taylor.

Chouette comme méthode Merci !!

Enfaite, le résultat que je voulais montrer est le suivant:

(C'est d'ailleurs une question de RoBeRTo-BeNDeR voir Lien)

Soit le polynôme:


Il est question de déterminer le degres et le coefficient constant de ce polynôme.

En bidouillant un peu, on peut facilement s'apercevoir que pour tout entier naturel.

Donc on a d'après le binôme de newton:

En notant les coefficients de ce polynôme, il reste donc à montrer qu'ils sont tous nuls sauf pour .

Donc en notant: , la question se ramène à montrer que:

et que .

J'ai étalé tout mon raisonnement pour montrer la chose suivante:

J'ai introduit la fonction car j'ai remarqué que :

.

J'espérais donc trouver un autre moyen pour exprimer cette dérivée p-ième.

Mais l'idée de Thorin que je remercie une nouvelle fois m'a fait penser à une méthode plus directe sans même parler de dérivées:

En remarquant que:

D'autre part : .

Sachant que et par unicité du DL le résultat est immédiat.

Merci encore à vous.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Alors mimo13 pour trouver ce polynôme (il y a maintenant ... 3 ans)
j'ai étudié des pyramides de différence comme celle ci :

Pour n=2

1 2² 3²
3 5
2
on trouve 2=2!

mais on peu le faire avec n'importe quel triplet:

5² 6² 7²
11 13
2

et ceci pour une puissance n on trouve avec un n+1-uplet de départ n! donc pour tout x:

x^n (x+1)^n (x+2)^n (x+3)^n .... (x+n+1)^n
(x+1)^n-x^n .....
...
n!

J'espère avoir été clair.

Ceci n'est pas une démonstration mais la méthode qui me l'as donnée durant mon année de terminale

J'ai attendu cette année pour que deux des professeurs de math (l'un en prépa et l'autre du lycée) me la démontre de deux façons différentes.