Infiniment petit

[invite6754323456711]

Bonjour,


Pour info La résolution des paradoxes de Zénon. L'article est payant

Un article public

Patrick
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[Médiat]

Un article public

J'avoue ne pas avoir tout lu, mais je me méfie d'un article dont l'abstract annonce que l'article va démontrer que l'axiome de l'infini est contradictoire (on ne sait pas avec quoi), ce qui rendrait ZF inconsistant, alors que si c'était le cas, cela se saurait (médaille Fields si l'auteur est assez jeune, par exemple).
La définition principale au début de l'article est celle d'un "w-order", et j'imagine qu'il s'agit en fait de -order, or cette définition est fausse (pas dramatique, mais cela me rend suspicieux).
Certaines considérations (page 5 et 6) n'ont rien de mathématique, et les remarques mathématiques peuvent se ramener à "dans l'ensemble infini des nombres entiers, chaque entier est fini".
Bref, je n'ai pas envie de perdre trop de temps sur ce document, si quelqu'un veut approfondir sa lecture et le trouve valide, je reverrai ma position.

[invite6754323456711]

J
Bref, je n'ai pas envie de perdre trop de temps sur ce document, si quelqu'un veut approfondir sa lecture et le trouve valide, je reverrai ma position.

Ce que je crois comprendre de ce qui prétend démontrer :

Peut-on démontrer la décomposition d'un intervalle du continuum R en un nombre infini dénombrable de segments à l'aide de la notion d'ordinaux transfini ? N'est-ce pas à l'origine un non sens mathématique ?

Patrick

[Médiat]

Bonjour,

Peut-on démontrer la décomposition d'un intervalle du continuum R en un nombre infini dénombrable de segments à l'aide de la notion d'ordinaux transfini ?

Pas besoin d'ordinaux, on peut même démontrer (c'est très facile) que toute famille d'intervalles disjoints recouvrant IR est dénombrable.

[invite6754323456711]

Bonjour,
Pas besoin d'ordinaux, on peut même démontrer (c'est très facile) que toute famille d'intervalles disjoints recouvrant IR est dénombrable.

En nombre fini ou infini ?

Patrick

[Médiat]

Si la famille est finie, il n'y a pas grand chose à faire pour la rendre "petite".

[invite6754323456711]

Si la famille est finie, il n'y a pas grand chose à faire pour la rendre "petite".

Chaque famille peut elle se décomposer à son tour en un ensemble infini dénombrable de famille d'intervalles disjoints la recouvrant ? Et ceci de manière infini dénombrable ?

Patrick

[Médiat]

Chaque famille peut elle se décomposer à son tour en un ensemble infini dénombrable de famille d'intervalles disjoints la recouvrant ? Et ceci de manière infini dénombrable ?

Désolé, mais je ne comprends pas où vous voulez en venir, si vous avez une famille dénombrable, pourquoi voulez-vous la décomposer (sur quels critères) en une famille dénombrable ?

[invite6754323456711]

Désolé, mais je ne comprends pas où vous voulez en venir, si vous avez une famille dénombrable, pourquoi voulez-vous la décomposer (sur quels critères) en une famille dénombrable ?

Pour trouver une représentation de la notion d'instant et mettant en oeuvre la notion de successeur. C'est me semble t-il ce que cherche à faire l'auteur de l'article.

Patrick

[Médiat]

Pour trouver une représentation de la notion d'instant et mettant en oeuvre la notion de successeur. C'est me semble t-il ce que cherche à faire l'auteur de l'article.

Posez toutes les questions mathématiques que vous voulez, j'essaierai d'y répondre, mais je ne sais toujours pas ce qu'est un instant.

[invite6754323456711]

mais je ne sais toujours pas ce qu'est un instant.

Le problème c'est que moi non plus. Zénon en a fait un paradoxe en supposant je pense que l'instant est un réel.

Due to the topological denseness of the real number continuum modelling space and time, no instant has an immediate successor instant in the same way that, for instance, natural number have. On the contrary, between any two instants uncountably many other instants exist.

Qu'est-ce donc que le temps ? La réponse de Saint Augustin

Si personne ne me le demande, je le sais : mais que je veuille l'expliquer à la demande, je ne le sais pas! Et pourtant - je le dis en toute confiance - je sais que si rien ne se passait il n'y aurait pas de temps passé, et si rien n'advenait, il n'y aurait pas d'avenir, et si rien n'existait, il n'y aurait pas de temps présent. Mais ces deux temps, passé et avenir, quel est leur mode d'être alors que le passé n'est plus et que l'avenir n'est pas encore ? Quant au présent, s'il était toujours présent sans passer au passé, il ne serait plus le temps mais l'éternité.
Si donc le présent, pour être du temps, ne devient tel qu'en passant au passé, quel mode d'être lui reconnaître, puisque sa raison d'être est de cesser d'être, si bien que nous pouvons dire que le temps a l'être seulement parce qu'il tend au néant. [...] Enfin, si l'avenir et le passé sont, je veux savoir où ils sont. Si je ne le puis, je sais du moins que, où qu'ils soient, ils n'y sont pas en tant que choses futures ou passées, mais sont choses présentes. Car s'ils y sont, futur il n'y est pas encore, passé il n'y est plus. Où donc qu'ils soient, quels qu'ils soient, ils n'y sont que présents. Quand nous racontons véridiquement le passé, ce qui sort de la mémoire, ce n'est pas la réalité même, la réalité passée, mais des mots, conçus d'après ces images qu'elle a fixées comme des traces dans notre esprit en passant par les sens.
Mon enfance par exemple, qui n'est plus, est dans un passé qui n'est plus, mais quand je me la rappelle et la raconte, c'est son image que je vois dans le présent, image présente en ma mémoire. En va-t-il de même quand on prédit l'avenir ? Les choses qui ne sont pas encore sont-elles pressenties grâce à des images présentes ? Je confesse, mon Dieu, que je ne le sais pas. Mais je sais bien en tout cas que d'ordinaire nous préméditons nos actions futures et que cette préméditation est présente, alors que l'action préméditée n'est pas encore puisqu'elle est à venir. Quand nous l'aurons entreprise, quand nous commencerons d'exécuter notre projet, alors l'action existera mais ne sera plus à venir, mais présente. [...]
Il est dès lors évident et clair que ni l'avenir ni le passé ne sont et qu'il est impropre de dire : il y a trois temps, le passé, le présent, l'avenir, mais qu'il serait exact de dire : il y a trois temps, un présent au sujet du passé, un présent au sujet du présent, un présent au sujet de l'avenir. Il y a en effet dans l'âme ces trois instances, et je ne les vois pas ailleurs : un présent relatif au passé, la mémoire, un présent relatif au présent, la perception, un présent relatif à l'avenir, l'attente. Si l'on me permet ces expressions, ce sont bien trois temps que je vois et je conviens qu'il y en a trois.

Patrick

[Médiat]

Le problème c'est que moi non plus. Zénon en a fait un paradoxe en supposant je pense que l'instant est un réel.

A une époque où la diagonale d'un carré de côté 1 était suspect (et en tout cas incommensurable), je ne pense pas que Zénon pensait aux nombres réels

Qu'est-ce donc que le temps ?

Question non mathématique.

La réponse de Saint Augustin

J'ignorais qu'il fut un grand mathématicien.



Merci de ne pas faire dériver ce fil hors de ses rails : les mathématiques.

[invite2d9f8ffe]

on a l'impression qu'il sagit d'une descussion exclusivement ''U100-Med" ou on repond aucune autre intervention.
Aussi il est appareant qu'on fait trop devier du sujet initial ...............................les autres avis sont ignore a cause de "" non appartenance au club"" ........ce forum est plus classe qu ça
Merci

[invite6754323456711]

on a l'impression qu'il sagit d'une descussion exclusivement ''U100-Med" ou on repond aucune autre intervention.

Il me semble pourtant avoir répondu à chacune de tes interventions. T'on interrogation sous l'angle physique des paradoxes de Zénon est intéressante et rejoint me semble t-il la MQ ou la notion de trajectoire/mouvement est mise à mal dans ce monde microscopique. L’effet Zénon quantique semble avoir été observé sur des particules matérielles piégées, mais pour débattre de cela il faut ouvrir un autre fil dans l'un des forum débat scientifique, physique ou épistémologie en fonction de l'aspect du problème qui t'intéresse.

Patrick

[leg]

on a l'impression qu'il sagit d'une descussion exclusivement ''U100-Med" ou on repond aucune autre intervention.
Aussi il est appareant qu'on fait trop devier du sujet initial ...............................les autres avis sont ignore a cause de "" non appartenance au club"" ........ce forum est plus classe qu ça
Merci

Bonjour
c'est pas très sympa..je pense que (Médiat et ù100fil )mon répondu suffisamment , quand bien même il y aurait des points de désaccords.. ou d'incompréhension ; c'est ce qui fait le charme d'un forum.

[leg]

Le problème c'est que moi non plus. Zénon en a fait un paradoxe en supposant je pense que l'instant est un réel.

Patrick

pourquoi ne pas faire simple..
un instant c'est l'intervalle de temps qu'il me faut , pour écrire ou prononcer 1, puis 2.....
je suppose que l'instant n'existe pas je me demande comment je vais faire pour prononcer ces deux nombres en même temps....
il ne faut peut être pas trop chercher , à pousser le bouchon plus loin ....
tout le monde c'est très bien ce que cherchait à faire Zénon, en proposant ce genre de solution...paradoxe si on veut...

[invite54cf07b0]

Salut à tous!

Il me semble que pour appréhender la notion de succession dan R, il convient de faire appel à la notion d'échelle.

Autrement, l'on ne saurait jamais quel est le nombre reél qui vient tout juste avant ou après un autre reél fixé d'avance. C'est un peu comme dans la géométrie fractale où les longueurs sont fonctions de l'échelle.

Merci

[invite6754323456711]

Salut à tous!

Il me semble que pour appréhender la notion de succession dan R, il convient de faire appel à la notion d'échelle.

Peux-tu développer car une vision topologique de donne :

http://fr.wikiversity.org/wiki/Topol...ce_topologique

L'exemple suivant le plus intéressant est celui de l'ensemble des nombres réels. En effet, dans la construction des ensembles classiques de nombres, est le premier ensemble à être défini en utilisant des notions de topologie, en « complétant » . La définition de la topologie sur est la suivante : est ouvert si pour tout , il existe ε > 0 tel que .

Patrick

[invited6a8e0a5]

Salut à tous!

Il me semble que pour appréhender la notion de succession dan R, il convient de faire appel à la notion d'échelle.

Autrement, l'on ne saurait jamais quel est le nombre reél qui vient tout juste avant ou après un autre reél fixé d'avance. C'est un peu comme dans la géométrie fractale où les longueurs sont fonctions de l'échelle.

Merci

Bonjour,

Si un "instant" à une extension spatiale sur R non nulle (un instant est est interval), alors il n'y à la limite plus de paradoxe.

Le problème est qu'un instant (j'appelle un instant un point de R), t = 0 par exemple, n'a pas de successeur sur R, sauf de postuler l'axiome du choix total (qui ne nous révelera pas pour autant le l'identité du successeur de 0). Le coup de"mettre une échelle" est un peu facile.

Mais je pense que cette considération n'existait pas à l'époque, car même en admettant l'axiome du choix le paradoxe n'est pas résolu.

[Médiat]

Bonjour,

Le problème est qu'un instant (j'appelle un instant un point de R), t = 0 par exemple, n'a pas de successeur sur R, sauf de postuler l'axiome du choix total (qui ne nous révelera pas pour autant le l'identité du successeur de 0).

Pourriez-vous expliquer comment l'axiome du choix (je suppose que quand vous dîtes "total" c'est pour exclure les versions faibles comme le choix dénombrable ou le choix dépendant) permet de définir la notion de successeur dans IR pour l'ordre naturel (si ce n'est pas l'ordre naturel, je ne vois pas, a priori, l'intérêt de cet ordre pour définir des "instants") ?

[invited6a8e0a5]

Bonjour,
Pourriez-vous expliquer comment l'axiome du choix (je suppose que quand vous dîtes "total" c'est pour exclure les versions faibles comme le choix dénombrable ou le choix dépendant) permet de définir la notion de successeur dans IR pour l'ordre naturel (si ce n'est pas l'ordre naturel, je ne vois pas, a priori, l'intérêt de cet ordre pour définir des "instants") ?

Bonjour,

Avec AC, chaque ensemble admet un plus petit élément. Min(R/0 ) me paraît donc un excellent candidat à la succession "naturel" de zéro. Avec tous les nouveaux paradoxes que cela implique bien sûr

D'autant que (je ne le sais pas), mais il me semble que Min(R/0) est un hyperréel et à ce titre n'appartient pas à R ... Je peux me tromper

Bref AC <=> il existe un successeur (oui tout espace devient bien ordonnable) mais au sens "naturel" je n'en suis pas sûr, une idée ?

[Médiat]

Bonjour,

Avec AC, chaque ensemble admet un plus petit élément.

Pas exactement, avec AC chaque ensemble est bien ordonnable, mais dans le cas de IR, cet ordre n'est pas l'ordre naturel, il n'est d'ailleurs pas contructif, et donc ne sert à rien ici.

[invited6a8e0a5]

Bonjour,
Pas exactement, avec AC chaque ensemble est bien ordonnable, mais dans le cas de IR, cet ordre n'est pas l'ordre naturel, il n'est d'ailleurs pas contructif, et donc ne sert à rien ici.

Autant pour moi.

Par contre il existe un candidat pour les fonctions de choix que l'on ne sait exhiber, je veux parler du hasard.
Bien sûr pas celui que l'on simule (cela reviendrait à exhiber la fonction), la hasard le vrai, celui qui ne résulte pas d'une cause et donc du déterminisme ambiant. Car a la limite si l'on postule AC, alors ce hasard peut choisir (au hasard) dans l'infinité.

Malgré tous le hasard présent dans la physique quantique, je n'ai jamais entendu parler de ce hasard qui échapperait à la cause (ce qui fait de lui Le vrai hasard), a t'on des nouvelles de lui ou alors suis-je fou ?

[Médiat]

Par contre il existe un candidat pour les fonctions de choix que l'on ne sait exhiber, je veux parler du hasard.

Qu'appelez-vous hasard dans ce contexte ?

Par exemple, soit la relation d'équivalence sur IR définie par

Qu'appeleriez-vous "hasard" et qui soit une fonction qui extrait un représentant dans chaque classe d'équivalence et qui doit exister en tant qu'ensemble dans le modèle ?

[invite54cf07b0]

Peux-tu développer car une vision topologique de donne :



Patrick

Bonjour à tous

De la définition qui est donnée de la topologie dans R, il ressort que le successeur de x est bien x+E, avec E>0 arbitrairement choisi. C'est bien de ça que je fais allusion lorsque j'évoque la notion d'échelle (précision) à définir les nombres.

Ce qui est enervant c'est que, entre x et x+E, il existe un nombre infiniment grand de réels qu'on ignore de manière abitraire. A-t-on le droit?

Je suis plutôt enclin à penser que dans l'absolu, la question de succession dans R est une question indécidable.

Merci

[Médiat]

Bonjour,

De la définition qui est donnée de la topologie dans R, il ressort que le successeur de x est bien x+E, avec E>0 arbitrairement choisi.

Je ne vois pas ce que cela veut dire, car si on peut choisir E arbitrairement, pourquoi ne pas en choisir plusieurs, chaque réels auraient plusieurs successeurs, du coup le nom me paraît mal approprié (sans compter tous les autres problèmes).

Ce qui est enervant c'est que, entre x et x+E, il existe un nombre infiniment grand de réels qu'on ignore de manière abitraire. A-t-on le droit?

Bien sur qu'on a le droit, mais il faut définir proprement les objets manipulés et/ou les rélations qui les lient, cette partie absolument nécessaire n'est pas faite.

Je suis plutôt enclin à penser que dans l'absolu, la question de succession dans R est une question indécidable.

Avant de pouvoir dire si la question est indécidable, il faudrait avoir un énoncé de la question ; si la question est de savoir si "dans IR chaque élément x peut être associé à un unique nombre réel y plus grand que x, mais tel qu'il n'existe aucune réel entre x et y", alors ce n'est pas indécidable : c'est faux.

[erik]

De la définition qui est donnée de la topologie dans R

Quelle topologie sur R ? y'en a pas qu'une.

le successeur de x est bien x+E, avec E>0 arbitrairement choisi

On est bien d'accord que pour servir à quelque chose, un successeur doit être défini de manière unique.

Ce n'est pas le cas avec ta "définition" : appliquons cette définition au successeur de 7, je choisi comme E, E=103 (ben oui c'est arbitraire) : donc d'après toi le successeur de 7 est 200.
Un autre choisi pour E, E=0.01, donc d'après toi le successeur de 7 est 7.001.
Tu sens le problème ?
Tu ne serais pas en train de confondre la notion de successeur avec la notion de relation d'ordre ?

[EDIT] : doublon avec Médiat

[invite54cf07b0]

Avant de pouvoir dire si la question est indécidable, il faudrait avoir un énoncé de la question ; si la question est de savoir si "dans IR chaque élément x peut être associé à un unique nombre réel y plus grand que x, mais tel qu'il n'existe aucune réel entre x et y", alors ce n'est pas indécidable : c'est faux.

Un exemple concret: Prenons le nombre 1, quel est son successeur dans R?

[invite54cf07b0]

Ce n'est pas le cas avec ta "définition" : appliquons cette définition au successeur de 7, je choisi comme E, E=103 (ben oui c'est arbitraire) : donc d'après toi le successeur de 7 est 200.
Un autre choisi pour E, E=0.01, donc d'après toi le successeur de 7 est 7.001.
Tu sens le problème ?
Tu ne serais pas en train de confondre la notion de successeur avec la notion de relation d'ordre ?

Si on prend E=103, le successeur de 7 est bien 110 si je ne me trompe pas!
C'est juste pour plaisanter.

Cette définition n'est pas de moi, c'est celle qui est donnée dans le lien fourni par Patrick

Intuitivement, quand il y'a un successeur, c'est qu'il y'a chose qui est placé avant obligatoirement. Je fais allusion à l'ordre naturel, bien entendu, qui doit existé dans IR.

[Médiat]

Un exemple concret: Prenons le nombre 1, quel est son successeur dans R?

Comme déjà rappelé plusieurs fois : pour la relation d'ordre usuel : il n'y en a pas !