inégalité élémentaire mais...

[ericcc]

Bonjour à tous,

En essayant de résoudre un problème du journal "Le Monde", j'ai voulu démontrer simplement que la somme d'un ensemble quelconque de nombres entiers supérieurs à 2 est toujours inférieure à leur produit (avec le cas limite où il n'y a que deux nombres égaux à 2). Cela me semble un résultat élémentaire, mais je ne trouve pas de raisonnement simple.

Merci de vos lumières
-----

[invitedf584d51]

C'est pas très complexe. Si x et y sont deux nombres supérieurs à 2, en supposant que y soit plus grand que x. On a x+y plus petit que y+y plus petit (égal en fait) que 2*y plus petit que x*y (car x est plus grand que 2). Bref, par associativité, on peut conclure.

[ericcc]

Ca marche bien pour deux nombres - on peut aussi résoudre en y x+y = xy et voir que cela n'est possible que pour x=y=2.

Je ne suis pas sur que le raisonnement reste valable pour n nombres supérieurs ou égaux à 2 ?

[lahaye]

En raisonnant par recurrence ?

Si , alors par hypothese de recurrence, on peu ecrire :
qui est une somme de deux nombres superieurs a 2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

Et le membre de droite est supérieur à 4, qui est peut etre bien inférieur au membre de gauche ? J'ai peur que cela ne marche pas non plus

[lahaye]

On a par hypothese de recurrence . (verifie pour n=3 comme montre precedemment)
Donc, on en deduit .
Maintenant, en ecrivant on a (ou 4 si tu veux mais 4>2)
Or,

Il me semble que alors,

[ericcc]

ok !
merci

Ceci dit je pourrais ergoter et dire que le raisonnement par récurrence n'est pas vraiment élémentaire, certains mathématiciens le refusaient même entièrement...

[invitebfbf094d]

On peut montrer facilement par récurrence que .

Cela n'englobe pas tous les cas, mais c'est deja pas mal

[invitebfbf094d]

Une généralisation possible serait de montrer :

Pour i=2,3,4,... .

Pour i=2, on montre par récurrence que ;

Pour i=3, que ;

Ainsi de suite...

[invite0f5c0a62]

bon je vais essayer un truc :

On considère n entier supérieur à 2 noté Ai, avec i de 2 à n+1 (on, va pas mettre qu'un seul entier sinon c'est pas terrible.)

Bon, d'une part, on note Ak le max de (Ai) c'est l'entier le plus grand, comme quelqu'un l'a fait remarqué, la somme est inférieur à n*Ak

le produit c'est Ak * (Produit de tous les Ai sauf Ak).

Notre problème revient donc a montrer que :

Ak * (Produit de tous les Ai sauf Ak) est supérieur à Ak*n,

je pense que le Ak est assez grand et qu'on va le sortir de là

Les Ai sont supérieurs à 2 donc "(Produit de tous les Ai sauf Ak)" > 2^n, du coup, on cherche à prouver que 2^n > n (au moins pour n supérieur à 2 puisque c'est notre condition de départ)

Alors 2^n - n > 0 ? est ce que ça marche oui ça à l'air,

Bon alors là, désolé j'ai pas trouvé mieux qu'une étude de fontion bébête :
soit f un fonction définie sur R telle que f(x) = 2^x - x = e^(xln2) - x
c'est composée de fonction dérivable dans R donc
f '(x) = xln2e^(xln2) - 1 ce qui pour x > 1 nous donne :
f' (x) = (ln2)² - 1

là je pense que tout le monde est d'accord que f ' > 0 pour x > 1 donc f est strictement croissant de 1 à l'infini, et comme :
f (1) = 2 - 1 = 1 > 0 , on peut affirmer que 2^n > n

et si je suis pas trop fatigué et que je n'ai pas fais une anerie dans mes dires, c'est ce qu'il falait démontrer et sans récurrence madame

[invite0f5c0a62]

mince j'ai mal noté (ça commence) :

à la fin :

f ' (x) = (ln2)² - 1 c'est n'importe quoi c'est :

pour x > 1 on a f ' (x) > 2ln2 - 1 qui lui est bien supérieur à 0

[invitebfbf094d]

C'est quoi le max d'un entier ? Par exemple, on prend un entier quelconque, disons 345 (noté Ai pour toi), c'est quoi le max de 345 ?

Ensuite ben j'ai rien compris.

[invite0f5c0a62]

j'ai jamais dit que c'est un entier j'ai dis que c'était n entier, le max c'est le plus grand de ces entiers.

par exemple le max de (1, 5, 7, 3, 12, 6) c'est 12.

Dans un ensemble d'entier fini, il y a toujours un plus grand ! (même si apparait de façon multiple)

[invitede7e7695]

euh c'est pas juste la concavité du ln ?

[invitebfbf094d]

Désolé, j'avais mal compris

Pour revenir au problème.Pour montrer , on montre, en divisant des deux cotés par , que : . Or, on a :

,

,
.
.
,

Donc, chaque terme de gauche de l'inégalité (1) est c'est-a-dire : , ,...

La somme S des n termes du membre de gauche de l'inégalité (1) est :

Si on montre que , on aura montré le résultat. Mais, j'ai pas la force de chercher, vu l'heure. Je verrai ca demain, ou si quelqu'un le prouve avant

[invitede7e7695]

oulah en fait j'ai rien dit. ignorez mon message merci

[invitebfbf094d]

Suite à ce que j'ai dit plus haut, montrons par recurrence que [n/2^(n-1)]=<1 , pour n=2,3,...

On montre facilement que [(n+1)/2^n]=< 1/2+1/2n=<1. Ce qui montre la récurrence. (j'ai passé les détails car j'ai pas la force avec les notations...mille excuses).

Voila, si je ne me suis pas trompé dans mon raisonnement et dans mes calculs, je pense avoir démontré le résultat cherché.

[ericcc]

Bon, je vais essayer de complexifier le problème. En fait on a égalité quand tous les x_i sont égaux, ce qui donne la valeur exacte du minima des x_i qui est n^1/(n-1) avec n le nombre d'entiers. L'étude de la courbe x^1/(x-1) montre qu'elle décroit pour x plus grand que 2. C'est pourquoi la condition x_i plus grand que 2 fonctionne.

Pour la beauté du geste j'aimerais maintenant retrouver la valeur exacte du minimum dans la démonstration, soit n^1/(n-1).

Hmmm ?

[invitedf584d51]

Ceci dit je pourrais ergoter et dire que le raisonnement par récurrence n'est pas vraiment élémentaire, certains mathématiciens le refusaient même entièrement...

Sans l'axiome de récurrence, l'ensemble des entiers ne peut être construit. Le problème n'a donc plus de sens. Les mathématiques sans axiome du choix sont assez limitées.

[ericcc]

Certes, mais les mathématiciens constructivistes se méfiaient des raisonnements par récurrence qui n'exhibent pas les propriétés réelles, fondamentales, des objets étudiés (en réalité ils rejetaient les raisonnements par tiers exclus ce qui est différent).
C'est ce que je cherche à voir ici. On peut faire des raisonnements par récurrence qui sont impeccables logiquement et démontrent bien les propriétés, mais qui sont en quelque sorte un aveu d'impuissance puisqu'on utilise une méthode de proche en proche. Comme c'est un raisonnement par induction qui va du particulier au général, il évite - pas toujours d'ailleurs - de passer par des propriétés intrinsèques de ce que l'on étudie.
Dans mon cas il y a une valeur limite n^1/(n-1) qui est au coeur de la propriété et qui n'apparait pas dans le raisonnement pas récurrence.

Me fais je comprendre ?

[ericcc]

En fait il n'y a pas besoin de récurrence ou de log. Voici la solution que je propose :

Classons les x_i du plus grand -x_n-au plus petit -x₁-, alors

, en prenant le plus grand des éléments comme majorant, et avec l'égalité s'ils sont tous égaux.

en prenant le plus petit des éléments comme minorant, avec égalité s'ils sont tous égaux.

Si alors on a bien , et le cas d'égalité si tous les x_i sont égaux.

Je note au passage qu'il suffit que les x_i soient des réels positifs.

[invitebfbf094d]

En fait il n'y a pas besoin de récurrence ou de log. Voici la solution que je propose :

Classons les x_i du plus grand -x_n-au plus petit -x₁-, alors

, en prenant le plus grand des éléments comme majorant, et avec l'égalité s'ils sont tous égaux..

Ca faut le prouver.

en prenant le plus petit des éléments comme minorant, avec égalité s'ils sont tous égaux..

a prouver aussi

[ericcc]

Si chaque x_i est plus petit que x_n alors la somme est plus petite que n x_n. Il y a égalité ssi ils sont tous égaux. Essaye de prendre x₁ < x_n alors tu n'auras jamais l'égalité.

Idem pour le produit.

Me trompe je ?

[invitebfbf094d]

Si chaque x_i est plus petit que x_n alors la somme est plus petite que n x_n. Il y a égalité ssi ils sont tous égaux. Essaye de prendre x₁ < x_n alors tu n'auras jamais l'égalité.

Idem pour le produit.

Me trompe je ?

Si c'est vrai, mais démontres moi le résultat général que tu énonces. Ce que tu fais pour ton résultat, on pouvait déjà l'appliquer sur X1+X2+...+Xn<X1X2...Xn : en essayant avec des nombres, on a bien le résultat, mais ca prouve pas le cas général.

[Romain-des-Bois]

----------------
Posté par ericcc
Si chaque xi est plus petit que xn alors la somme est plus petite que n xn. Il y a égalité ssi ils sont tous égaux. Essaye de prendre x1 < xn alors tu n'auras jamais l'égalité.

Idem pour le produit.

Me trompe je ?
----------------

Ca faut le prouver.

par récurrence, ça pose pas de problème.

[invitebfbf094d]

Oui, je le sais, mais j'attendais la réponse de Ericcc, vu ce qu'il a dit sur le raisonnemenr par récurrence avant

[ericcc]

Si l'un des x_i est strictement plus petit que x_n alors est strictement inférieur à n x_n ce qui est contraire à notre hypothèse sur l'égalité de la somme. Donc ils sont tous égaux.

[invitebfbf094d]

Je crois que tu devrais repartir de zéro et poser le problème que tu veux résoudre et les hypothèses que tu supposes. Ca va dans tous les sens la, désolé mais je suis plus : hypotèse de l'égalité des sommes ?? J'ai relu et je n'ai vu nul part ou se trouve cette hypothèse. Tu n'as fait qu'affirmer, je te cite :

Si chaque xi est plus petit que xn alors la somme est plus petite que n xn. Il y a égalité ssi ils sont tous égaux. Essaye de prendre x1 < xn alors tu n'auras jamais l'égalité.

ce qui reste a prouver.

[ericcc]

Je me suis probablement mal exprimé :

Je veux montrer que la somme de n nombres est toujours inférieure ou égale à leur produit - avec une condition éventuelle sur les nombres. Et je cherchais un raisonnement "élémentaire".

J'ai montré cela pour des réels positifs supérieurs à une constante A_n dont la valeur dépend de n. Et la valeur de A_n est n^1/(n-1).

Si cette condition n'est pas vérifiée, alors la somme peut être supérieur strictement au produit.

Sommes nous d'accord ?

"Passées les bornes il n'y a plus de limite" (Le Sapeur Camembert)

[invitebfbf094d]

Je me suis probablement mal exprimé :

Je veux montrer que la somme de n nombres est toujours inférieure ou égale à leur produit - avec une condition éventuelle sur les nombres. Et je cherchais un raisonnement "élémentaire".)

Je vois pas ce qu'est "élémentaire" pour toi. Le raisonnement par récurrence est l'un des plus importants raisonnement en mathématiques que tu sembles sous-estimer, et le rejeter c'est rejeter beaucoup de choses trouvées en mathématiques.

J'ai montré cela pour des réels positifs supérieurs à une constante A_n dont la valeur dépend de n. Et la valeur de A_n est n^1/(n-1).

Je n'ai vul nul part ou tu as démontré que A_n=n^1/(n-1)