Equation de récurrence du second ordre

[invite4aa68f9f]

bonjour a tous

alors j'ai alors j'ai l'équation de récurrence du second ordre suivante:

Yt - (c+v)*Yt-1 + v*Yt-2 = a + b +At avec a, b c et v des constantes qui verifient 0< c <1 et v > 0.

la question est comme qui suit:

1) on pose c = 3/4
en discutant suivant les valeurs de v , donnez la forme de la solution génerale de l'équation sans second membre (équation homogène).

alors je ne sais pas si ma réponse est correcte :

At + a + b = Yt+2 - (3/4 + v) Yt+1 + vYt
la solution générale est sous la forme Y(e) = C
donc Y(e) = C - (3/4 + v)C + vC
Y(e) = 1/4C

At = 1/4C donc C = 4At
d'ou Y(e) = 4At
-----

[invite4aa68f9f]

c'est si faux que ca ???

[invite57a1e779]

Bonjour,

donnez la forme de la solution génerale de l'équation sans second membre (équation homogène).

L'équation sans second membre ne serait-elle pas ?
Il faut alors donner la forme de la solution générale en passant par l'équation caractéristique .

[invite4aa68f9f]

ah oui je vois mon erreur maintenant

donc ca donne:
r² - (3/4 + v)*r + v

delta = (3/4 + v)² - 4v
= 9/16 + 6/4v + v² - 4v
= 9/16 - 10/4 + v²
= 9/16 - 5/2 v + v²

delta = 25/4 - 4*9/16
= 25/4 - 9/4
=4

X1= 1/4
X2 = 9/4

la solution étant : Ut = λ*1/4² + δ*9/4²

je ne sais pas si c'est juste jusque la

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4aa68f9f]

désolé je voulais dire
la solution étant : Ut = λ*1/4^t + δ*9/4^t

[invite57a1e779]

Non, 1/4 et 9/4 ne sont pas les racines de l'équation caractéristiques.
Ce sont les valeurs par rapport auxquelles doit s'articuler la discussion sur la multiplicité des racines de l'équation caractéristique, lesquelles racines dépendent de v.

[invite4aa68f9f]

est ce que cela veut dire que je dois remplacer les valeurs trouvées
dans l'équation r² - (3/4 + v)*r + v ???

[invite1e1a1a86]

donc ca donne:
r² - (3/4 + v)*r + v

delta = (3/4 + v)² - 4v
= 9/16 + 6/4v + v² - 4v
= 9/16 - 10/4 + v²
= 9/16 - 5/2 v + v²

delta2 = 25/4 - 4*9/16
= 25/4 - 9/4
=4

v1= 1/4
v2 = 9/4

quel est le signe de delta suivant la valeur de v alors? (si v<v1, si v>v2....)
a partir de là, combien y'a t'il de solution (réelle/complexe) pour la première équation?

il y a 5 cas à étudier (suivant la position de v par rapport à v1 et v2)

ensuite seulement, tu peux trouver 2 suites solutions à ta relation de réccurence (facilement si delta>0, avec "un passage dans les complexes" si delta<0, et en rusant si delta=0... mais il doit y avoir ces trois cas dans ton cours)



en tout cas, joli exercice

[invite4aa68f9f]

je ne trouve pas les 5 dont tu parles , tout ce que je trouve comme solution c'est :

pour delta > 0

Ut = A(1/2)^t + B(1/2)^t + C pour v = 3/4
et
Ut = A(3/2)^t + B(3/2)^t + C pour v = 9/4

et pour v ∈ ] 0.25 , 2.25 [ solution complexe

[invite1e1a1a86]

il y a 5 cas à discuter:
v<v1: delta positif , 2 solutions réelles (qui dépendent de v) à l'équation caractéristique
v>v2: idem
v1<v<v2: delta negatif, 2 solutions complexes (qui dépendent de v), il faut utiliser les cosinus/sinus (cf ton cours?)
v=v1: delta nul, une seule solution (réelle double), il faut ruser (en cherchant une autre suite) pour trouver une 2nd solution (cf ton cours)
v=v2: idem

[invite1e1a1a86]

je vais remettre le tout en forme, pour t'aider et clarifier les choses.

on cherche à trouver toutes les solutions de l'équation homogène


on sait qu'il s'agit d'un espace vectoriel de dimension 2, on cherche donc 2 solutions non liées.

on les cherche sous la forme (suite géométrique de raison r)

on tombe alors sur l'équation (dite caractéristique):


le discriminant vaut
dont on cherche le signe en fonction de v
on trouve (étude d'une fonction polynômiale de degré 2 avec le discriminant etc...)
a) si
b) si
c) si
d) si
e) si

pour les cas a et e, on a donc 2 solutions réelles pour r ( ) et c'est gagné.

pour le cas c, les solutions sont complexes (conjuguées), il faut être un peu rusé pour retrouver 2 solutions réelles (à l'aide des fonctions trigo). Regarde ton cours mais on peut t'expliquer si tu as besoin.

pour les cas b et d, il n'y a qu'une solution (), il faut donc chercher un autre type de suite (plutôt que géométrique) mais cela est également fait dans ton cours.

n'hésites pas

ps: je n'ai vérifié aucun calcul, juste le raisonnement

[invite4aa68f9f]

je te remercie pour ton explication , j'ai juste une petite question concerant le 1er cas ou delta = 0 , c'est dire v = 1/4 , je ne comprends pas le resultat que tu as mentionné (r= -(3/4+v)/2), moi j'avais trouvé x = 1/2 pour v = 1/4 ce qui donne une equation de Yt= A(0.5)^t + B(0.5)t + C ( est ce que c'est faux ??)

[invite1e1a1a86]

J'ai fait une erreur de signe, excuse moi. Il fallait lire:

pour les cas a et e, on a donc 2 solutions réelles pour r ( ) et c'est gagné.

pour le cas c, les solutions sont complexes (conjuguées), il faut être un peu rusé pour retrouver 2 solutions réelles (à l'aide des fonctions trigo). Regarde ton cours mais on peut t'expliquer si tu as besoin.

pour les cas b et d, il n'y a qu'une solution (), il faut donc chercher un autre type de suite (plutôt que géométrique) mais cela est également fait dans ton cours.

et la seconde vaut bien 0,5 si v=1/4
dans ce cas tu as donc une solution . il n'en manque qu'une seconde.... (cf ton cours: )

pourquoi +C parcontre?

[invite4aa68f9f]

oui effectivement je viens de trouver Yt= A(0.5)^t + Bt(0.5)^t et Yt= A(1.5)^t + Bt(1.5)^t pour delta = 0 (désolé pour le +C j'ai recopié un exemple de mon cours sans faire attention )
par contre je ne comprends pas trop comment on retrouve le R du delta > 0

[invite1e1a1a86]

ben: le "fameux" ""