Géométrie

[inviteef5d7855]

Bonsoir,

Je rencontre quelques petits problèmes en géométrie.

1. J'ai une famille F = {u,v} où u = (1, 1) et v = (3, -2) et il faut que je construise une base orthonormale a partir de F par le procédé de Shmidt. Je n'arrive pas à comprendre comment appliquer ce procédé et je n'ai aucun exemple qui l'explique clairement...

2. Soit D la droite d'équations:

a. Déterminer un vecteur u de D de norme 1.
J'ai du mal a bien saisir ce que signifie la norme 1 et pour trouver un vecteur directeur je dois résoudre le système c'est ça?

b. Déterminer la matrice P de la projection orthogonale sur D.
c. En déduire la matrice de la projection orthogonale sur P = D
d. Quelle est la matrice S de la symétrie orthogonale par rapport à D?

Et là, c'est le drame. Je n'ai strictement rien compris aux projections orthogonales. Cela veut il dire qu'on a un point et qu'on l'envoi sur une autre droite et on regarde ou il est sur cette autre droite?

Bref je suis complètement perdu.
Mon cours est extrèmement pauvre et je ne trouve rien bien expliqué sur internet. Je ne vous demande donc pas des réponses mais seulement la démarche pour trouver le résultat. En gros "Comment faire pour répondre a ces questions".

Je vous remercie beaucoup
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[invite1e252b6d]

désolé de ne pas pouvoir vous repondre mais est ce que vous pouvez m'aidez j'ai posté un messgae qui est en rapport avec proba stat il est juste en dessous de votre message merci

[inviteef5d7855]

Je vais voir si je peut

[invited5b2473a]

1) Tu pars d'un vecteur, disons u. Tu le normalises pour obtenir le premier vecteur de ta nouvelle base, u' = (1,1)/racine(2). Puis tu vas considérer v' = v - (v.u')u' et tu vas normaliser v'. Alors (u', v') est la base voulue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteef5d7855]

J'ai compris pour trouver la norme du vecteur u:

Mais je ne comprend pas pourquoi fais tu comme ça pour v!

Si vous pouvez m'aider pour les autres questions ce serait génial!
Merci beaucoup

[invited5b2473a]

J'ai compris pour trouver la norme du vecteur u:

Mais je ne comprend pas pourquoi fais tu comme ça pour v!

Si vous pouvez m'aider pour les autres questions ce serait génial!
Merci beaucoup

En fait, u et v au départ ne sont ni normalisés (i.e. de norme égale à 1) ni orthogonaux entre eux. Donc on va rectifier le tir en
1) Normalisant u. Cela donne le vecteur u', premier vecteur de la base orthonormale.
2) Puis on va rendre v perpendiculaire à u. Il faut voir que v tu peux l'écrire comme v = (v.u)u + (v - (v.u)u). (v.u) désigne le produit scalaire de u et v. Le premier terme dans le membre de droite désigne le vecteur résultant de la projection orthogonale de v sur u. Quand à l'autre terme, c'est la composante de v perpendiculaire à u. Donc on va garder cette composante v'.
3) On normalise v'.

Ainsi (u', v') est une base orthonormale.