inégalité, complexes

[invite6c146f6c]

Bonjour, je dois résoudre une inégalité, mais j'ai un peu de mal, j'ai quelques idées mais je ne sais pas si je peut aboutir :

pour n entier naturel non nul, z complexe de module 1 montrer que :



Avec l'inégalité triangulaire je n'aboutit pas. donc je suis parti avec la def du module de |z+z'|² = |z|²+|z'|²++2Re(zbarz') mais les carrés m'empêche de continuer, ou alors il faut travailler avec des racines ??

Si vous pouviez m'indiquer par où commencer,des petits indices merci.
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[invited5b2473a]

Essaye par récurrence sur n.

[invite6c146f6c]

ah bah oui, quel idiot que je suit de ne pas avoir pensé à la récurrence...

Merci, je vais tenter par cette méthode, je dirai si elle fonctionne bien ou si je suis encore bloqué

[invite6c146f6c]

Ben en faite, je n'arrive pas non plus avec la récurrence, je n'avance pas du tout, je dois m'y prendre mal ou alors il y a une autre technique...

Merci pour ceux qui ont des idées de recherches ^^.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

Si, ça fonctionne avec une inégalité triangulaire renversée.

[invite6c146f6c]

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par inégalitée triangulaire "renversée"...

[invited5b2473a]

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par inégalitée triangulaire "renversée"...

Bah des trucs du genre |a|+|b|>=|a+b|>=|a|-|b|

[invite6c146f6c]

donc si je comprends bien, il suffit que je montre que la somme est >= 2n puisque n|z+1|>=n(|z|-1)=0 ??

mais dans ce cas là je montre juste que c'est >=0 car si je réitére le procédé à la somme, je retombe toujours sur |z|^k-|1|=0 ...

[invited5b2473a]

donc si je comprends bien, il suffit que je montre que la somme est >= 2n puisque n|z+1|>=n(|z|-1)=0 ??

mais dans ce cas là je montre juste que c'est >=0 car si je réitére le procédé à la somme, je retombe toujours sur |z|^k-|1|=0 ...

Non, en utilisant l'hypothèse de récurrence tu es ramené à montrer que |1+z|+|1+z^(2n)|+|1+z^(2n+1)|+ 2(n-2)>2n et donc tu peux montrer que |1+z|+|1+z^(2n)|+|1+z^(2n+1)|> 2. Et là, tu peux utiliser l'inégalité triangulaire et ses variantes.

[invite57a1e779]

Bonjour,

z complexe de module 1

Il est peut-être utile d'introduire un réel tel que , et de se rappeler qu'alors :

.

[invited5b2473a]

donc si je comprends bien, il suffit que je montre que la somme est >= 2n puisque n|z+1|>=n(|z|-1)=0 ??

mais dans ce cas là je montre juste que c'est >=0 car si je réitére le procédé à la somme, je retombe toujours sur |z|^k-|1|=0 ...

Non, en utilisant l'hypothèse de récurrence tu es ramené à montrer que |1+z|+|1+z^(2n)|+|1+z^(2n+1)|+ 2(n-2)>2n et donc tu peux montrer que |1+z|+|1+z^(2n)|+|1+z^(2n+1)|> 2. Et là, tu peux utiliser l'inégalité triangulaire et ses variantes.

Oups, j'ai fait une petite erreur : il faut lire |1+z|+|1+z^(2n)|+|1+z^(2n+1)|+ 2n>2n+2 et on veut donc démontrer |1+z|+|1+z^(2n)|+|1+z^(2n+1)|> 2.

[invite6c146f6c]

non, j'arrive à montrer que c'est >=0 mais pas à 2, je ne vois pas, je tourne et retourne mon inégalité mais rien à faire...

[invited5b2473a]

Bon, voilà ce que tu peux faire :

|1+z|+|1+z^(2n)|+|1+z^(2n+1)|> =|1+z|+|2+z^(2n)(1+z)|>=|1+z|+ 2-|z^(2n)(1+z)|=|1+z |+2-|z^(2n)||1+z|=|1+z|+2-|1+z|=2. Et voilà, je te laisse enlever les cas d'égalités.
Comme ça, tu n'as même pas besoin d'utiliser les cosinus et autres sinus.