fonction lipshitzienne

[invite151f5aa4]

a vous de montrer que sin(x) est lipshitzienne???
c a d
qq soit x y appartiennent a R
اsinx-siny<اx-yا


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[invited5b2473a]

facile, la dérivée de sin est bornée

[invite436c869c]

Et oui! Vite fait avec le théorème des accroissements finis (TAF pour les intimes des maths!!).
Draune

[invited5b2473a]

Et donc, en particulier, la fonction sinus est uniformément continue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite436c869c]

En effet puisque :
lipschitzienne => uniformément continue => continue. Et les réciproques sont fausses bien évidemment!!
Draune

[invite151f5aa4]

je suis tt ça
mais moi je cherche une autre methode!!!!!
merci d avance

[invite4793db90]

En effet puisque :
lipschitzienne => uniformément continue => continue. Et les réciproques sont fausses bien évidemment!!
Draune

Allez hop: c'est parti pour le jeu des contre-exemples!

[invitea8d97425]

Pour la première : x -> racine(x) sur un intervalle bien choisi doit convenir...

[invitea8d97425]

Et pour la seconde : x -> x^2 sur R+.

Bon, je me suis pas foulé...

[invited5b2473a]

x² est u.c. sur ??????????

[invitea8d97425]

Non ; j'ai voulu dire que le premier post (racine) est un contre exemple possible pour la première implication (lips => UC) et la fonction carrée pour la seconde... Donc effectivement la fonction carrée n'est pas UC sur R+, c'est fait pour...

[invited5b2473a]

Ok, j'avais pas fait attention, désolé.

[invite17c3613d]

je suis tt ça
mais moi je cherche une autre methode!!!!!
merci d avance

tu peux le montrer autrement:

quelque soit x,y e R²
I f(x)-f(y) I = I sin(x) - sin(y) I =
2*Icos(x+y/2)*sin(x-y/2)I ≤ 2*Isin(x-y/2)I ≤ 2*Ix-y/2I = Ix-yI.


donc quelque soient x,y de R, Isin(x)-sin(y)I ≤ Ix-yI.
donc sin est lipschitzienne de rapport k=1.

[invite25ca7e95]

d'où l'intérêt de bien apprendre toutes ces formules de trigo... ça sert même là où on ne les attend pas