Dm de Maths (PCSI)

[inviteaa29bb00]

Bonjour!
Alors voilà j'ai un DM de maths à faire, mais je bloque...

Voilà l'énoncé:
On pose Sn= [somme de p=1 à n] de p*(p parmis n)

1) Montrer que p*(p parmis n)=n*[(p-1) parmis (n-1)]
>>je trouve p*(p parmis n)=n!/(p-1)!(n-p)! et
n*[(p-1) parmis (n-1)]=n!/(p-1)!(n-p+1)!

2) En deduire la valeur de Sn
>> j'ai l'habitude de mettre"+...+" pour simplifier mes sommes, mais le profs refuse cette notations (normale...), je ne sais pas comment faire, même en me servant du résultat précédent.

3)On a f(x)=(1+x)^n
a) Montrer que f(x)=[somme de p=0 à n] de (p parmis n)*x^p
>> j'ai utilisé le binôme de Newton, mais j'ai toujours ce problème de "+...+"
b)Justifier que f est dérivable sur R.
>>j'ai dit que comme n E N* et que N*C R, n E R.
De plus, x est définie sur R, dc 1+x est aussi definie sur R
Donc f(x) est dérivable sur R
c) En calculant f'(1) de 2 façons différentes, retrouver Sn
>> Aucune idée

Merci pour vos pistes!!!
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[invitebe08d051]

1) Montrer que p*(p parmis n)=n*[(p-1) parmis (n-1)]
>>je trouve p*(p parmis n)=n!/(p-1)!(n-p)! et
n*[(p-1) parmis (n-1)]=n!/(p-1)!(n-p+1)!

Si je ne me trompe pas et donc ton deuxième calcul est faux.

[inviteaa29bb00]

Merci, mais j'ai fait ça et j'ai donc trouvé

(p-1) parmis (n-1)=(n-1)!/(p-1)!(n-(p-1))
et donc
n*((p-1) parmis (n-1))=n!/(p-1)!(n-(p-1))
et je ne vois pas mon erreur, ces calculs sont un peu trop abstraits pour moi ^^

[inviteaa29bb00]

J'ai aussi 2 autre exercices sur lequel je bloque
(les "<" sont en réalité des "inférieurs ou égal")

1)Démontrer que pr tt n E N*, 2^(n-1) < n! < n^n

>>j'ai essayé avec une récurrence en 2 partie, mais le "<" et le n! me perturbe, il y a peut-être une autre méthode plus simple.

2)Soient n un entier non nul, a et b des réels.
a)Montrer que si a>b>0, alors a^n-b^n>n*b^(n-1)*(a-b)

>>En développant la deuxième partie de l'inégalité, je me retrouve avec n*a*b^(n-1)*b^(n-1)*b
=n*a*b^(n-1)*b^n
et je ne sais pas comment continuer.

Merci de vos réponses!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

J'ai aussi 2 autre exercices sur lequel je bloque
(les "<" sont en réalité des "inférieurs ou égal")

1)Démontrer que pr tt n E N*, 2^(n-1) < n! < n^n

>>j'ai essayé avec une récurrence en 2 partie, mais le "<" et le n! me perturbe, il y a peut-être une autre méthode plus simple.

2)Soient n un entier non nul, a et b des réels.
a)Montrer que si a>b>0, alors a^n-b^n>n*b^(n-1)*(a-b)

>>En développant la deuxième partie de l'inégalité, je me retrouve avec n*a*b^(n-1)*b^(n-1)*b
=n*a*b^(n-1)*b^n
et je ne sais pas comment continuer.

Merci de vos réponses!

1) Pour l'inégalité de gauche, pas besoin de récurrence. De même pour l'inégalité de droite. Pour rappel, n! = 1x2x..xn.

2) Factorise le terme de gauche et déduisant l'inégalité voulue.

[invitebe08d051]

Merci, mais j'ai fait ça et j'ai donc trouvé

(p-1) parmis (n-1)=(n-1)!/(p-1)!(n-(p-1))
et donc
n*((p-1) parmis (n-1))=n!/(p-1)!(n-(p-1))
et je ne vois pas mon erreur, ces calculs sont un peu trop abstraits pour moi ^^

Alors là, je ne trouve pas plus simple que de t'écrire la réponse:



Essaye d'aborder un seul exercice à la fois, tu comprendra mieux, et ça évitera de surcharger la page avec un tas d'exercices non résolus.

[invited5b2473a]

Et accessoirement, si tu peux apprendre le latex, ça serait cool.

[inviteaa29bb00]

Merci pour vos conseils, je devrais pouvoir me débrouiller ;D

[inviteaa29bb00]

Est-ce que l'un de vous pourrais me donner le résultats de Sn, que j'essaie de le retrouver avec mes calculs?

[inviteaa29bb00]

J'ai trouvé Sn=n2^(n-1)

Mais j'ai toujours un problème sur la dernière démonstration.
2)Soient n un entier non nul, a et b des réels.
a)Montrer que si a>b>0, alors a^n-b^n>n*b^(n-1)*(a-b)

J'ai essayé avec une récurrence forte, mais c'est trop compliqué.
J'ai factorisé
a^(n+1) - b^(n+1) = (a^n - b^n)(a+b) - (a^n*b - a*b^n)
Mais je ne suis pas plus avancée.

Si qqn pouvait me donner le début de la démonstration et peut-être quelques étapes intermédiaires, cela m'aiderait beaucoup.

Merci d'avance!