Espérance mathématique qui me parait compliquée ?!

[invite744de606]

Bonjour tout le monde,

Je poste ce sujet parceque j'ai de petites confusions dans mon raisonnement.

J'ai variables aléatoires indépendantes et continues de densités connues .

A partir de ces variables aléatoires, on construit trois nouvelles variables aléatoires , et définies comme suit:





L'objectif est de calculer l'espérance mathématique de qu'on note .

Dans mon raisonnement, j'ai commencé par écrire plus simplement en envisageant les deux cas: et .

Mais après, je ne sais plus dans quel chemin avancer. Les lois de probabilité jointes? les convolutions? les lois marginales ...

Est-ce que vous proposer quelque chose?

Merci d'avance.
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[invite435df26c]

Je note que C1 est la variable nulle; peut etre que d'autres observations de nature non-probabiliste permettent de simplifier le probleme de facon generale

[invitea07f6506]

Sans hypothèse supplémentaire, je vois mal ce que l'on peut dire de précis. Si je devais cependant aborder le problème, je tirerais les signes des variables aléatoires avant de calculer les variables aléatoires elles-mêmes, afin de me débarrasser de tous ces maximums :

1) Je note .

2) Je considère l'espace , que je munis de la mesure de probabilité telle que .

3) Soient , , où , des variables aléatoires indépendantes telles que soit de même loi que conditionnée par , et que soit de même loi que conditionnée par . Soit une variable aléatoire de de loi , qui soit indépendante du reste.

4) Posons et . Alors, si je ne me trompe, est de même loi que . De plus, on a . Maintenant, on peut calculer tranquillement l'espérance du minimum de deux variables aléatoires indépendantes, puis sommer sur tous les .

Sans hypothèse supplémentaires (par exemples : variables aléatoires symétriques, ou i.i.d.), il est difficile d'aller plus loin dans cette voie. On peut toujours s'amuser à passer au calcul explicite avec les densités, mais je vois mal comment éviter de ce retrouver avec des produits de convolution et autres opérations qui se prêtent mal à des formules closes.

[invite744de606]

Merci pour le développement.
Mais j'ai l'impression qu'on peut faire mieux en utilisant:
[tex]\min(a,b) = b + \min(a-b,0)[\tex]

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite744de606]

Sans hypothèse supplémentaire, je vois mal ce que l'on peut dire de précis. Si je devais cependant aborder le problème, je tirerais les signes des variables aléatoires avant de calculer les variables aléatoires elles-mêmes, afin de me débarrasser de tous ces maximums :

1) Je note .

2) Je considère l'espace , que je munis de la mesure de probabilité telle que .

3) Soient , , où , des variables aléatoires indépendantes telles que soit de même loi que conditionnée par , et que soit de même loi que conditionnée par . Soit une variable aléatoire de de loi , qui soit indépendante du reste.

4) Posons et . Alors, si je ne me trompe, est de même loi que . De plus, on a . Maintenant, on peut calculer tranquillement l'espérance du minimum de deux variables aléatoires indépendantes, puis sommer sur tous les .

Sans hypothèse supplémentaires (par exemples : variables aléatoires symétriques, ou i.i.d.), il est difficile d'aller plus loin dans cette voie. On peut toujours s'amuser à passer au calcul explicite avec les densités, mais je vois mal comment éviter de ce retrouver avec des produits de convolution et autres opérations qui se prêtent mal à des formules closes.

Merci pour le développement.
Mais j'ai l'impression qu'on peut faire mieux en utilisant: