fonctions lipschitzienne

[chacal66]

bonjours à tous, voila j'ai des petits problèmes sur les fonctions lipschitzienne et j'aurai éventuellement besoin de votre aide...
j'ai f definie et lipschitzienne de rapport k<1 où quelque soit x,ydans l'intervalle ouvert (-n,n) |f(x)-f(y)|<k|x-y| (L)

et la question est si f est C1 sur R et |f'(0)|<1 montrer que (L) est vérifié dans un certain voisinage de 0 (on pourra prendre k=(1+|f'(o)|)/2.

je vois vraiment pas comment commencer je suis complétement bloqué...si vous pouvez m'aider...
merci d'avance
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[invite57a1e779]

Bonjour,

je vois vraiment pas comment commencer

Le théorème des accroissements finis ?

[chacal66]

f'(0)=(f(x)-f(y))/x-y<1
donc (f(x)-f(y)<x-y mais la j'ai pas le k=(1+f'(0))/2....

[invite435df26c]

f est C1 donc f' est C0
pour tout O(c) = {x, f'(x)<c} est un ouvert

avec k=(1+f'(0))/2 on a 1>k>f'(0) et donc 0 appartient a O(k)
il existe donc un "boule" (un segment dans R) centree sur 0 contenu dans O(k); notons cette boule I=[-m,m]

par construction; pour tout x dans I on a f'(x)<k<1
maintenant une simple application des accroissement finis...

[A voir en vidéo sur Futura]

[chacal66]

merci beaucoup...j'avais pas pensé au fait que k>f'(0)...à ma decharge c'est le soir^^ bonne soirée