toute fonction convexe admet un minimum

[invitea6816ba4]

bonjour

soit f une fonction convexe tel que sa limite lorsque x tend en valeur absolue vers plus l'infini est plus l'infini .

montrer que f admet un minimum et que l'ensemble ou le minimum est atteint est un intervalle.

pour la recherche

on a f est une fonction convexe sur un ouvert donc elle est continue.
je pense que ca nous permetterait en introduisant un compact bien choisit tel que le minimum de la fonction sur ce compact est le minimum de f dans tout R de répondre à la question .Seulement je ne sais pas comment le choisir.
si vous avez d'autres solutions sans utiliser de compacité n'hésitez pas à les formuler.
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[pat7111]

La compacite, c'est bien loin pour moi, mais tu es sur de l'enonce ? exp est convexe, isn'it et sa limite en l'infini est bien l'infini et pourtant, elle n'atteint pas de pas de minimum...

[invitea6816ba4]

x tend en valeur absolu

donc lim x tend plus l'infini de f est plus l'infini
et lim x tend moins l'infini de f est plus l'infini

[inviteac038092]

La compacité semble nécessaire.

Tu peux par exemple étudier l'ensemble des x tels que f(x) <= f(0) +1

Non vide? Borné? Connexe?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a322bed]

Si tu raisonnes sur un intervalle, c'est juste.

[invite2bc7eda7]

Essaie de faire un dessin (normalement tu en as deja fait un) et ca vient tout seul. Il faut utiliser la compacité en effet, mais pas seulement, il ne faut pas majorer par n'importe quoi ^^

Bon courage

[invitea6816ba4]

en effet c'est un fermé borné on peut choisir n'importe quoi pas seulement f(0).

donc c'est un compact le minimum dans ce dernier est le minimum de la fonction.

Je propose une autre méthode

on va montrer que la fonction ne peut changer de monotonie de cette facon(croissante devient décroissante).En effet ca impliquerait que la fonction admette un maximum local ce qui est impossible car on aura une corde sous la courbe.

Donc la fonction sera soit.

croissante.
décroissante.
décroissante puis croissante.

les deux premiers cas induisent une contradition avec le fait que la limite lorsque x tend en valeur absolu vers plus l'infini de f est plus l'infini.
donc la fonction est décroissante puis croissante donc admet un minimum.

[invitea6816ba4]

je ne comprend pas ce que tu veux dire par si tu raisonne sur un intervalle c'est juste.

Quel intervalle?
Qu'est ce qui est juste?

[invite1e1a1a86]

Une autre façon (si je me suis pas planté ça marche) est d'étudier la fonction:
que l'on peut prolonger en 0 et en 1 (et qui est finalement continue sur le compact [0,1]...)

[invitea6816ba4]

Bonjour

Bonne idée, elle conserve la monotonie donc si elle admet un minimum en x0 f admettra aussi un minimum en 1sur x0 moins 1 sur 1moins x0