Bonjour,
J'aimerai requérir votre aide pour un exercice sur les intégrales, cependant après 1 heure de recherche dans la FAQ du forum, je ne trouve pas le code ou la marche à suivre qui permettraient de les représenter sur le forum ! (comme dans d'autres topics par exemple.)
Je tiens à repréciser que j'ai réellement essayé de chercher comment faire mais sans succès...
Quelqu'un peut il m'aider ? Afin que je puisse exposer mon exercice...
Merci d'avance
En fait je vais essayer de la poser le plus proprement possible, sans essayer de rendre plus lisible, faute de moyens..
L'exercice donne un réel b, et propose d'étudier la convergence de :
int [ ( ( (ln t)^b ) cos (t) ) / sqrt (t-1) ] dt, le tout de 1 à l'inifini.
J'ai bien compris que la convergence (ou non) dépendait de la valeur du facteur b.
En effet, j'ai remarqué que si b < 1, l'intégrale divergeait (en x=1)
Et si b >= 1, alors l'intégrale convergeait...
Cependant j'aurais bien du mal à démontrer ceci...
D'autre part, j'ai un doute sur la convergence lorsque b >=1, puisque le terme [(ln t)^b ]cos (t) n'a pas de limite en +infini, je ne sais pas vraiment quoi en déduire quant à la convergence de l'intégrale...
Enfin, en cours nous avons appris à "ramener" (ou comparer) les intégrales proposées à des intégrales dont on connait la convergence (du genre 1/t^b). Hors ici, avec la racine au dénominateur, je ne pense pas que ce soit possible...
Bref, ca fait quelques heures que je creuse sur cet exercice, à chaque fois j'ai grignté quelques infos superflues mais désormais je n'avance plus...
Merci !
Le langage est lateX.
Donc, la famille d'intégrale à étudier est :
Je vais noter.
* En 1 : cos(t) converge vers une constante non nulle, donc n'a aucune influence sur la convergence de l'intégrale en ce point.
* En l'infini : en fait, le plus gênant n'est pas la racine au dénominateur, mais le cosinus au numérateur. Pour résumer,
L'idée, pour montrer cela, est de couper l'intégrale en morceaux. Posons
Il est un peu plus délicat de montrer que les fonctions
Pour information, la première formule de mon message est obtenue en tapant [*TEX]\int_1^{+ \infty} \frac{\ln (t)^b \cos (t)}{\sqrt{t-1}} dt.[*/TEX] (enlever les * pour obtenir la formule).
Salut Garf,
Je te remercie vivement pour ton argumentation que j'ai clairement comprise ! J'ai bien assimilé la méthode pour la convergence ou non en 1.
J'aurais simplement une petite question d'ordre plus général : dans la suite de l'exercice, ils demandent d'étudier l'absolue convergence de
Encore merci !
Oui, il faut que tu étudies la convergence de l'intégrale de la valeur absolue de la fonction qui se trouve sous le signe intégrale.Envoyé par Noks91
Salut Garf,
Je te remercie vivement pour ton argumentation que j'ai clairement comprise ! J'ai bien assimilé la méthode pour la convergence ou non en 1.
J'aurais simplement une petite question d'ordre plus général : dans la suite de l'exercice, ils demandent d'étudier l'absolue convergence de
Encore merci !
Ok, donc sans calcul, je peux supposer que l'intégrale va se comporter de la même manière que celle de base ? Puisque le "problème" posé par la valeur absolue réside uniquement dans le cosinus, à partir de x=pi/2, donc n'agit pas sur la convergence (ou non) en 1, mais uniquement en l'infini. Et ce problème ne me semble même pas en être un puisque comme Garf l'a demontré, la suite |Un| est décroissante et converge vers 0 à partir d'un certain rang.
Me trompé-je ?
Oui.
Pas le temps de détailler, je le ferai ce soir si nécessaire. Disons que, si la série de terme général
Tu dis que la fonction décroit trop lentement pour être intégrable ; mais en l'infini, le principe n'est-il pas justement que autant la suite mette du temps à decroitre, autant elle reste intégrable ? (puisque au final, à partir d'un certain terme x très très grand, la suite se met à décroitre inexorablement)
Attention ! En l'infinie, une fonction qui converge vers
C'est dû au fait qu'une primitive de la fonction inverse, le logarithme népérien, tend vers l'infini en l'infini. Ou, vu autrement : on peut additionner des quantité qui deviennent arbitrairement petites, et aboutir malgré tout à une somme infinie.
