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Equation du second degre




  1. #1
    doudou34

    Equation du second degre

    Bonjour tout le monde, je suis en Sup et j'ai un petit souci avec mon exercice de math. Je ne vois pas comment faire :s C'est un exercice que je fais pour m'aider a réviser mon DS de Lundi mais la :s

    Enoncé : a et b désignent deux nombres complexes non nuls et (E) désigne l'équation: z² - az + b = 0

    On note z1 et z2 les racines complexe (éventuellement égales) de (E)

    1/ Une condition nécessaire et suffisante pour que |z1| = |z2|

    * Rappeler les liens existant entre les quantités z1 + z2 et z1z2 et les coefficients a et b.

    Ma réponse : z1 + z2 = a z1z2 = b

    * On suppose que |z1| = |z2|. Ecrire z1 et z2 sous forme exponentielle puis en déduire la forme exponentielle de a²/b . Conclure que la quantité a²/b est réelle et appartient à l'intervalle ]0;1].

    Ma réponse :z1= re^(io) et z2= re^(-io)
    Mais cela ne doit pas être ça

    2/Une condition nécessaire et suffisante pour que Arg(z1) = Arg(z2)

    * Démontrer l'inégalité suivante, appelée inégalité arithmético-géométrique
    x+ y+, (xy) (x + y) / 2

    Ma réponse :

    * On suppose que Arg(z1) = Arg(z2). Ecrire z1 et z2 sous forme exponentielle, puis trouver que la quantité b / a² est réelle et appartient à ]0;1].

    Ma réponse :

    Merci de m'aider car je ne vois vraiment pas comment je dois faire.

    -----

    Dernière modification par doudou34 ; 19/09/2010 à 10h59.

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  3. #2
    God's Breath

    Re : Equation du second degre

    Bonjour,
    Citation Envoyé par doudou34 Voir le message
    * Rappeler les liens existant entre les quantités z1 + z2 et z1z2 et les coefficients a et b.

    Ma réponse : z1 + z2 = a z1z2 = b
    Oui.

    Citation Envoyé par doudou34 Voir le message
    * On suppose que |z1| = |z2|. Ecrire z1 et z2 sous forme exponentielle puis en déduire la forme exponentielle de a²/b . Conclure que la quantité a²/b est réelle et appartient à l'intervalle ]0;1].

    Ma réponse :z1= re^(io) et z2= re^(-io)
    Mais cela ne doit pas être ça
    Non, ce n'est effectivement pas ça: z1 et z2 ont même module r d'accord, mais on ne sait rien sur les arguments. En particulier rien ne dit qu'ils sont opposés.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    doudou34

    Re : Equation du second degre

    oui mais si rien ne dit qu'ils sont opposés rien ne dit qu'ils sont égaux.

    Je ne vois vraiment pas comment écrire la forme exponentielle juste avec le module


  5. #4
    indian58

    Re : Equation du second degre

    2) Ton énoncé n'est pas clair, j'imagine qu'il faut démontrer

    2/(1/x+1/y) <= racine(xy) <= (x+y)/2.

    Dans ce cas, commence par l'inégalité de droite en élevant au carré. Tu se serviras ensuite de cette inégalité pour démontrer celle de gauche.

    Pour la sous-question suivante, écris z1 et z2 sous forme exponentielle et traduis l'égalité. Ensuite utilise l'équation de départ.

  6. #5
    doudou34

    Re : Equation du second degre

    Il y a bien une erreur :

    =< : inférieur ou égale
    c'est racine(xy) =< (x + y) / 2

    j'élève ma partie de droite au carré ce qui me permet de supprimer ma racine a gauche

    ce qui me permet d'avoir
    xy =< 1/4 (x+y)²
    xy =< 1/4 (x² + 2xy +y²)

    Mais après je dois faire quoi ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    indian58

    Re : Equation du second degre

    Citation Envoyé par doudou34 Voir le message
    Il y a bien une erreur :

    =< : inférieur ou égale
    c'est racine(xy) =< (x + y) / 2

    j'élève ma partie de droite au carré ce qui me permet de supprimer ma racine a gauche

    ce qui me permet d'avoir
    xy =< 1/4 (x+y)²
    xy =< 1/4 (x² + 2xy +y²)

    Mais après je dois faire quoi ?
    Tu continues à transformer ton inéquation jusqu'à ce que tu prouves qu'elle bien vraie pour tout x,y.

  9. #7
    doudou34

    Re : Equation du second degre

    xy=< 1/2 (xy) + 1/4 (x²) + 1/4 (y²)

    on fait passer 1/2 (xy) à gauche

    1/2 (xy) =< 1/4 (x²) + 1/4 (y²)

    xy =< 1/2 x² + 1/2 y²

    xy =< 1/2 (x² + y²)

    2xy =< x² + y²

    0=< x² + y² + 2xy

    0=< (x+y)²

    Non ?

    Par contre tu peux me donner une aide pour démarrer, la forme exponentielle de la question 1 car je ne vois pas comment partir
    En tout cas merci de m'aider

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  11. #8
    God's Breath

    Re : Equation du second degre

    Citation Envoyé par doudou34 Voir le message
    Par contre tu peux me donner une aide pour démarrer, la forme exponentielle de la question 1 car je ne vois pas comment partir
    Les deux nombres complexes ayant même module, noté , leurs formes exponentielles sont et .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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