Equation du second degre

[doudou34]

Bonjour tout le monde, je suis en Sup et j'ai un petit souci avec mon exercice de math. Je ne vois pas comment faire :s C'est un exercice que je fais pour m'aider a réviser mon DS de Lundi mais la :s

Enoncé : a et b désignent deux nombres complexes non nuls et (E) désigne l'équation: z² - az + b = 0

On note z1 et z2 les racines complexe (éventuellement égales) de (E)

1/ Une condition nécessaire et suffisante pour que |z1| = |z2|

* Rappeler les liens existant entre les quantités z1 + z2 et z1z2 et les coefficients a et b.

Ma réponse : z1 + z2 = a z1z2 = b

* On suppose que |z1| = |z2|. Ecrire z1 et z2 sous forme exponentielle puis en déduire la forme exponentielle de a²/b . Conclure que la quantité a²/b est réelle et appartient à l'intervalle ]0;1].

Ma réponse :z1= re^(io) et z2= re^(-io)
Mais cela ne doit pas être ça

2/Une condition nécessaire et suffisante pour que Arg(z1) = Arg(z2)

* Démontrer l'inégalité suivante, appelée inégalité arithmético-géométrique
x+ y+, (xy) (x + y) / 2

Ma réponse :

* On suppose que Arg(z1) = Arg(z2). Ecrire z1 et z2 sous forme exponentielle, puis trouver que la quantité b / a² est réelle et appartient à ]0;1].

Ma réponse :

Merci de m'aider car je ne vois vraiment pas comment je dois faire.
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[God's Breath]

Bonjour,

* Rappeler les liens existant entre les quantités z1 + z2 et z1z2 et les coefficients a et b.

Ma réponse : z1 + z2 = a z1z2 = b

Oui.

* On suppose que |z1| = |z2|. Ecrire z1 et z2 sous forme exponentielle puis en déduire la forme exponentielle de a²/b . Conclure que la quantité a²/b est réelle et appartient à l'intervalle ]0;1].

Ma réponse :z1= re^(io) et z2= re^(-io)
Mais cela ne doit pas être ça

Non, ce n'est effectivement pas ça: z1 et z2 ont même module r d'accord, mais on ne sait rien sur les arguments. En particulier rien ne dit qu'ils sont opposés.

[doudou34]

oui mais si rien ne dit qu'ils sont opposés rien ne dit qu'ils sont égaux.

Je ne vois vraiment pas comment écrire la forme exponentielle juste avec le module

[indian58]

2) Ton énoncé n'est pas clair, j'imagine qu'il faut démontrer

2/(1/x+1/y) <= racine(xy) <= (x+y)/2.

Dans ce cas, commence par l'inégalité de droite en élevant au carré. Tu se serviras ensuite de cette inégalité pour démontrer celle de gauche.

Pour la sous-question suivante, écris z1 et z2 sous forme exponentielle et traduis l'égalité. Ensuite utilise l'équation de départ.

[A voir en vidéo sur Futura]

[doudou34]

Il y a bien une erreur :

=< : inférieur ou égale
c'est racine(xy) =< (x + y) / 2

j'élève ma partie de droite au carré ce qui me permet de supprimer ma racine a gauche

ce qui me permet d'avoir
xy =< 1/4 (x+y)²
xy =< 1/4 (x² + 2xy +y²)

Mais après je dois faire quoi ?

[indian58]

Il y a bien une erreur :

=< : inférieur ou égale
c'est racine(xy) =< (x + y) / 2

j'élève ma partie de droite au carré ce qui me permet de supprimer ma racine a gauche

ce qui me permet d'avoir
xy =< 1/4 (x+y)²
xy =< 1/4 (x² + 2xy +y²)

Mais après je dois faire quoi ?

Tu continues à transformer ton inéquation jusqu'à ce que tu prouves qu'elle bien vraie pour tout x,y.

[doudou34]

xy=< 1/2 (xy) + 1/4 (x²) + 1/4 (y²)

on fait passer 1/2 (xy) à gauche

1/2 (xy) =< 1/4 (x²) + 1/4 (y²)

xy =< 1/2 x² + 1/2 y²

xy =< 1/2 (x² + y²)

2xy =< x² + y²

0=< x² + y² + 2xy

0=< (x+y)²

Non ?

Par contre tu peux me donner une aide pour démarrer, la forme exponentielle de la question 1 car je ne vois pas comment partir
En tout cas merci de m'aider

[God's Breath]

Par contre tu peux me donner une aide pour démarrer, la forme exponentielle de la question 1 car je ne vois pas comment partir

Les deux nombres complexes ayant même module, noté , leurs formes exponentielles sont et .