limite

[invite6b5754d7]

antikhippe tu te trompe totalement.

lim x²/sin x=lim cos x+cotan x²/sin -x
x->0 x->0
aprés calcul on trouve finalement lim=- inf
x->0+
lim=+ inf
x->0-[/code]
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[inviteab2b41c6]

En fait pas du tout
lim x²/sin(x)=0
x->0

d'ailleurs c'est très simple à voir puisque en 0 x~sin(x)

[invite6b5754d7]

tu as raison, j'ai du faire une erreur dans mes calculs ops:

[invite39dcaf7a]

Il faut réfléchir avant de parler, tazeen.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b5754d7]

fais attention à ce que tu dis toi aussi antikhippe.

[invite072b030b]

Ah bac S ou pas j'ai eu du mal à comprendre pourquoi la limite est 0!
En fait comme sin x est x quand on est infiniment prroche de 0, on calcul la limite de x²/x = x! donc limite nulle.
Il faut dire qu'à la fac on ne fait plus ce genre de maths

[inviteab2b41c6]

En fait comme sin x est x quand on est infiniment prroche de 0, on calcul la limite de x²/x = x! donc limite nulle.

Oui enfin il faut faire attention aussi, ce n'est pas x, c'est équivalent à x->x ou ca se comporte comme x->x.

En fait si tu veux une méthode simple de démonstration du résultat tu remarques que

x²/sin(x)=x*(x/sin(x))=x(x-0)/(sin(x)-sin(x))->xcos(0)->x->0
en 0

[inviteab2b41c6]

x²/sin(x)=x*(x/sin(x))=x(x-0)/(sin(x)-sin(x))->xcos(0)->x->0

oups la boulette:

x(x-0)/(sin(x)-sin(0))
c'est mieux ainsi

[invite072b030b]

Quant x est infiniment proche de 0, l'arc de cercle trigo qui relie le point d'abscisse curviligne 0 au point d'abscisse curviligne x est parfaitement assimiliable au segment qui relie la projection (sur l'axe des sinus) de ce point au centre du cercle, origine de l'axe des sinus des angles (IO;IM),où M est le point d'abscisse curviligne x et I le centre du cercle trigo. (ce fameux segment est en fait la projection de la corde de cercle elle-même).

L'égalité est de plus en plus juste à mesure que x se rapproche de 0 : pour la limite elle est parfaitement vraie puisque sin 0 = tan 0 = 0.
Conclusion : x = sin x si on assimile l'arc de cercle à la corde
x = tan x si on assimile l'arc de cercle à un segment de tangente entre la projection du point qui forme l'angle et le point 0. Ce qu'on peut faire pour des angles d'arc très très très très petits.

Il faudrait que je trouve un dessin pour exprimer ça! le cercle trigo est une invention géniale et je ne me suis servi que de ça pendant toute ma scolarité pour retenir les valeurs particulières et les relations du style sin -x =-sin x (pour les duplications linéarisations y a juste le par coeur et le formulaire du bac ). En plus c'est tout con, c'est juste un cercle de rayon 1 (ce qui fait que x est à la fois abscisse curviligne et valeur de l'angle d'ouverture de l'arc de cercle en radians! - le pb est de ne pas confondre ce x avec une abscisse rectiligne : dans le repère rectiligne les coordonnées sont (cos x, sin x) et pas x y).

Le tout est dans le "infiniment proche". C'est une question de limite!
Par contre je suis d'accord pour le signe environ égal quand on utilise cette approximation pour des angles à valeur finie, non infinitésimaux quoi. Exemple en physique on fait énormément l'approximation x = sin x en optique, où on travaille sur "petits" angles.

[inviteab2b41c6]

Non non en fait le signe ~ ne veut pas dire "environ égal".

Tu n'as pas du le voir alors, en fait, c'est un signe mathématique:

Si f et g sont 2fonctions définies au voisinages d'un point a (ici a=0) , alors on note f~g si (f/g)(x) -> 1 lorsque x->a

Sinon l'égalité x=sin(x) n'est vrai que pour x=0
En fait c'est très simple à démontrer:

f:=x-sin(x)
f'(x)=1-cos(x)<=0
donc f est toujours strictement décroissante puisque f' s'annule sur des intervalles d'interieur vide.
de plus f(0)=0 f(x)<0 pour x différent de 0
l'égalité n'a donc lieu que pour x=0

Cependant on peut écrire celà
sin(x)=x+o(x)=x+o(x²)
celà revient à dire qu'il existe une fonction f qui est "plus petite" que x->x² au voisinage de 0 et telle que sa limite vaille 0 et 0 et telle que

sin(x)=x+f(x)

et là on a une parfaite égalité et tout point autour de 0.

[inviteab2b41c6]

Par contre je suis d'accord pour le signe environ égal quand on utilise cette approximation pour des angles à valeur finie, non infinitésimaux quoi. Exemple en physique on fait énormément l'approximation x = sin x en optique, où on travaille sur "petits" angles.

Oui mais l'approximation est justifiée ici.
En fait, c'est simple de le démontrer, tu as toujours cette relation
|sin(x)-x|<=x^3/6

lorsque tu vas vers 0 avec une "certaine vitesse" alors le sinus se rapproche de la fonction identité de manière proporitonnelle au cube de ta vitesse!!! (6fois plus vite que le cube en fait)

Donc en fait il est assez "légitime" de dire que pour x assez petit on peut dire que sinus x et x sont environ égaux.

mais c'est pire que ca, si tu veux une précision encore plus grande, il ny' a pas de mal, tu peux dire que
|sin(x)-x+x^3/6|<=x^5/120

et là c'est extraordinaire, tu as une approximation largement suffisante pour un bon nombre de phénomènes, puisque lorsque x se rapproche de 0 avec une certaine "vitesse v", alors sin(x) se rapproche de x-x^3/6 avec une vitesse 120 fois supérieure à v au cube!

Et tu peux continuer à l'infini comme celà
En physique, c'était d'ailleurs en thérmo, il y'a 2ans, j'avais dépassé l'ordre 7 pour une approximation, mais ca n'arrive pratiquement jamais, on se contente déjà bien des approximations que l'on a à l'odre 1 pour l'optique (on parle d'approximation de Gauss en optique)

[inviteab2b41c6]

puisque lorsque x se rapproche de 0 avec une certaine "vitesse v", alors sin(x) se rapproche de x-x^3/6 avec une vitesse 120 fois supérieure à v au cube!

Pardon pas à v au cube, mais à v puissance 5