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Convergence en probabilité



  1. #1
    Guillaume 56000

    Convergence en probabilité


    ------

    Bonjour à tous,
    J'ai une question de mon DM sur laquelle je séche. Pourriez-vous me donner un indice sur la démarche à suivre, svp ?

    On considère une suite de variable aléatoire {Xn} n=1 -> inf
    telle que Xn-> c en probabilité.

    Si g est une fonction qui est continue au point c, montrer que g(Xn)->g(c) en probabilité .

    Merci d'avance !

    Guillaume

    -----

  2. #2
    Milky1

    Re : Convergence en probabilité

    Citation Envoyé par Guillaume 56000 Voir le message
    Bonjour à tous,
    J'ai une question de mon DM sur laquelle je séche. Pourriez-vous me donner un indice sur la démarche à suivre, svp ?

    On considère une suite de variable aléatoire {Xn} n=1 -> inf
    telle que Xn-> c en probabilité.

    Si g est une fonction qui est continue au point c, montrer que g(Xn)->g(c) en probabilité .

    Merci d'avance !

    Guillaume
    Bonjour Guillaume, voici une explication intuitive, ensuite l'idée de la démonstration.

    Puisque g est continue en x=c, g(x) est voisin de g(c) lorsque x est voisin de c. Et puisque Xn-> c en probabilité, la probabilité que Xn s'écarte de x=c est d'autant plus faible que n est grand. En conséquence, la probabilité que g(Xn) s'écarte de g(c) sera d'autant plus faible que n est grand, donc g(Xn)->g(c) en probabilité .

    Maintenant, il s'agit de s'appuyer sur le raisonnement intuitif pour faire une démarche rigoureuse qui utilise les epsilon et delta de la définition de convergence d'une suite et de la définition de continuité d'une fonction en un point. Je te laisse cette partie.

    Bonne journée !

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