Question générale simple sur les equations différentielles

[invite2b14cd41]

Bonjour,
pour une équation différentielle d'ordre 1 du type a(x)y'+b(x)y=c(x) , recherche-t-on les fonctions de classe au moins C1 ou bien simplement dérivables? (autrement dit, y' représente-t-il le nombre dérivé de y en un point donné ou bien la fonction dérivée de y ?)
Merci d'avance.
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[KerLannais]

Salut

A priori juste dérivable mais puisque qu'en général
1-on suppose que les coefficients a, b et c sont des fonctions continues (sinon l'équation peut ne pas avoir de solution),
2-la solution est forcément continue puisque dérivable
3- en général on se place sur un intervalle ou a ne s'annule pas pour pouvoir diviser l'équation par a (il faut néantmoins regarder plus précisément ce qui se passe aux points où a s'annule)

alors en utilisant 3-
y'=-(b(x)/a(x))y-(c(x)/a(x))
le membre de droite est d'après les points 1- et 2- clairement une fonction continue, cela veut dire que si y est une fonction dérivable qui vérifie l'équation alors elle est nécessairement de calsse C1.

Une équadiff n'est jamais posé pour un fixé (cela n'aurait aucun intérêt puisque l'on pourrait considérer a, b et c comme des constantes puisque x ne varie pas, on trouverait y'(x) en résolvant une simple équation du premier degré sur des nombres, et il y a une infinité de fonctions dérivables qui ont une certaine valeur y(x) fixée et y'(x) fixé, on trouvera toujours une fonction affine par exemple) y' est la dérivée de y, y'(x) est le nombre dérivé de y, qui sont tous les deux définis que y soit C1 ou simplement dérivable. La notation

est une abbréviation pour

et si l'intervalle d travail n'est pas alors en général il est précisé.

[invite2b14cd41]

Salut

A priori juste dérivable mais puisque qu'en général
1-on suppose que les coefficients a, b et c sont des fonctions continues (sinon l'équation peut ne pas avoir de solution),
2-la solution est forcément continue puisque dérivable
3- en général on se place sur un intervalle ou a ne s'annule pas pour pouvoir diviser l'équation par a (il faut néantmoins regarder plus précisément ce qui se passe aux points où a s'annule)

alors en utilisant 3-
y'=-(b(x)/a(x))y-(c(x)/a(x))
le membre de droite est d'après les points 1- et 2- clairement une fonction continue, cela veut dire que si y est une fonction dérivable qui vérifie l'équation alors elle est nécessairement de calsse C1.

Une équadiff n'est jamais posé pour un fixé (cela n'aurait aucun intérêt puisque l'on pourrait considérer a, b et c comme des constantes puisque x ne varie pas, on trouverait y'(x) en résolvant une simple équation du premier degré sur des nombres, et il y a une infinité de fonctions dérivables qui ont une certaine valeur y(x) fixée et y'(x) fixé, on trouvera toujours une fonction affine par exemple) y' est la dérivée de y, y'(x) est le nombre dérivé de y, qui sont tous les deux définis que y soit C1 ou simplement dérivable. La notation

est une abbréviation pour

et si l'intervalle d travail n'est pas alors en général il est précisé.

Merci beaucoup pour cette explication on ne peut plus claire.