Puissance entière d'un irrationnel rationnelle

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir s'il est possible qu'une puissance entière d'un irrationnel soit rationnelle, c'est-à-dire s'il existe au moins un élément rationnel dans la suite (avec x irrationnel).

Je ne pense pas que cela soit le cas, parce que sinon n'aurait que des automorphismes de corps continus, et j'ai lu que ce n'était pas le cas.

D'un autre côté, je ne vois pas pourquoi on ferait tout un problème pour montrer que est bien un irrationnel si aucune puissance entière de n'est rationnelle.

Quelqu'un connaîtrait-il un résultat sur le sujet ?

Merci d'avance,
Phys2
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[Thorin]

Salut,

?

[Seirios]

En fait je voudrait savoir si cela est vrai pour tout les irrationnels (ce qui n'est pas vraiment clair dans mon message )

[Arkhnor]

Bonjour.

Un nombre transcendant (c'est-à-dire qui n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers) ne possède aucune puissance rationnelle.
Or il existe des nombres transcendants. (par exemple ceux de Liouville, si tu veux un exemple relativement élémentaire, mais des nombres plus connu comme le sont aussi (ce qui met un terme à la recherche de la quadrature du cercle))

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

En fait je voudrait savoir si cela est vrai pour tout les irrationnels (ce qui n'est pas vraiment clair dans mon message )

non ce n'est pas vrai : pi est transcendant.

[Seirios]

Effectivement, je n'avais pas pensé à la transcendance.

A-t-on équivalence, c'est-à-dire : il existe une puissance entière d'un irrationnel rationnelle ssi cet irrationnel est transcendant ?

[God's Breath]

est irrationnel, algébrique et n'a, à ma connaissance, aucune puissance entière rationnelle.

[Arkhnor]

D'un autre côté, je ne vois pas pourquoi on ferait tout un problème pour montrer que est bien un irrationnel si aucune puissance entière de n'est rationnelle.

C'est pour qu'on fait tout un problème ... (qui a d'ailleurs été résolu par Apery, le problème restant ouvert pour les autres valeurs de zeta aux entiers impairs)

[yootenhaiem]

Bonjour,
Tous les nombres irrationnels sont-ils transcendants ? La reponse a cette question répondra à la tienne je pense =/

[Seirios]

Tous les nombres irrationnels sont-ils transcendants ? La reponse a cette question répondra à la tienne je pense

Je ne vois pas vraiment le rapport (surtout que la réponse est évidente)...