De la puissance d'un entier à celle d'un rationnel

[bourbaki]

Bonjour,

j'aurais besoin d'un éclaircissement sur les puissances rationnelles svp. Où est ce que je me trompe ?
On définit tout d'abord pour un réel quelconque et un entier naturel
Ensuite on étend cette définition aux puissances d'entiers relatifs par pour réel quelconque et entier relatif négatif.
De là, on peut définir une puissance rationnelle en posant , avec un réel quelconque, un rationnel tel que soit une fraction irréductible.
On a le résultat :

Jusque là, je pensais que ce qu'il y a ci-dessus est juste, mais pourtant, un exemple laisse penser qu'il y a des erreurs, ne faudrait-il pas des hypothèses plus fortes sur , le prendre positif par exemple?
voici ce qui m'a fait réfléchir ...


Et pourtant,


Des gens pourraient ils me signaler où sont les erreurs ?
Merci beaucoup !
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[invitebe0cd90e]

Euh, non, tu confonds exposant rationnel et exposant negatif.

La bonne definition est :.

[bourbaki]

merci d'avoir donné une réponse.
Malheureusement si tu pouvais développer ta pensée ça m'aiderait à comprendre où j'ai faux, quoi que ça encore j'en ai une idée, à savoir , mais surtout j'aimerais savoir pourquoi c'est faux.

[invitebe0cd90e]

En fait tu commets 2 fautes :

- quand tu ecris . Comme je te l'ai dit dans mon premier message, cette definition n'est pas la bonne.
- ensuite, dans ton exemple explicite, tu n'utilises pas ce que tu as defini precedemment, mais seulement ce que tu connais des regles de calculs des puissances. Le probleme est que prendre un exposant rationnel impose de prendre une racine, donc il y a des soucis avec les nombres negatifs. C'est comme ecrire que

[A voir en vidéo sur Futura]

[bourbaki]

effectivement, oui je me suis planté en écrivant , en réalité je pensais

Quelle est la valeur de (-8)^{1/3} au final ? Est ce que cette quantité existe ? la calculatrice affirme que ça vaut -2, par deux calculs différents on arrive à -2 et 2, y'a t il une démo de juste, où sont les erreurs ?

Merci de ta patience jobherzt

[leon1789]

(-8)^(1/3) = -2 oui

Mais en fait, la faute repose sur l'égalité
x^(ab) = (x^a)^b
qui est valide dans les cas suivants :
-1- pour tout lorsque a,b sont des entiers relatifs,
-2- pour tout a,b réels lorsque x > 0,
-3- ou encore dans quelques autres rares exceptions.

Tu n'es dans aucun de ces cas... d'où problème.

[invitebe0cd90e]

Il faut bien voir que souvent ca n'est pas l'expression de depart qui est fausse, mais une etape qui fait que les choses perdent leur sens, d'ou les precautions a prendre.
A premiere vue, a un sens, puisque ca revient a prendre la racine cubique de -8 qui est parfaitement definie. Mais quand tu l'ecris , tu as l'impression que ca ne change rien, mais en fait tu commences a faire apparaitre, suivant l'ordre dans lequel tu effectues les operations, soit une racine sixième, qui elle n'a pas de sens pour les nombres reels negatifs, soit un carré qui va faire disparaitre le signe moins et provoquer ce "paradoxe".

[bourbaki]

Clairement, l'erreur est là: , mais pourtant en notant ceci je considère la racine sixième d'un nombre positif, à savoir alors est-ce faux ... ?

[leon1789]

Il faut bien voir que souvent ca n'est pas l'expression de depart qui est fausse, mais une etape qui fait que les choses perdent leur sens, d'ou les precautions a prendre.

oui.

A premiere vue, a un sens, puisque ca revient a prendre la racine cubique de -8 qui est parfaitement definie. Mais quand tu l'ecris , tu as l'impression que ca ne change rien, mais en fait tu commences a faire apparaitre, suivant l'ordre dans lequel tu effectues les operations, soit une racine sixième, qui elle n'a pas de sens pour les nombres reels negatifs, soit un carré qui va faire disparaitre le signe moins et provoquer ce "paradoxe".

Ce n'est pas tout à fait ça : car 2/6 = 1/3.
Le problème est après , i.e. quand on veut "séparer" (-8)^(2/6) en ((-8)^2)^(1/6).

[leon1789]

Clairement, l'erreur est là: , mais pourtant en notant ceci je considère la racine sixième d'un nombre positif, à savoir alors est-ce faux ... ?

oui, l'égalité est fausse (bien que les deux membres à gauche et à droite soient bien définis) : et

[invitebe0cd90e]

Ce n'est pas tout à fait ça : car 2/6 = 1/3.
Le problème est après , i.e. quand on veut "séparer" (-8)^(2/6) en ((-8)^2)^(1/6).

Hmmm, je pourrais chipoter On a bien 3/9=1/3, et pourtant cette fois "separer" en donne le bon resultat

Donc au fond je suis d'accord que c'est ce que tu dis qui pose probleme, mais j'insistais aussi sur le fait que le passage 1/3 -> 2/6 n'etait pas trivial, ces nombres ne sont pas egaux mais equivalents...

[God's Breath]

Le problème vient de ce que je n'ai toujours pas vu de définition de , pour rationnel non entier.

Par exemple : quelle est la définition de ?

[leon1789]

Hmmm, je pourrais chipoter On a bien 3/9=1/3, et pourtant cette fois "separer" en donne le bon resultat

oui, là tu es dans les "exceptions"

Donc au fond je suis d'accord que c'est ce que tu dis qui pose probleme, mais j'insistais aussi sur le fait que le passage 1/3 -> 2/6 n'etait pas trivial, ces nombres ne sont pas egaux mais equivalents...

Hmmm 1/3 = 2/6 quand même

[invitebe0cd90e]

oui, là tu es dans les "exceptions"

Oui et non, je pense (comme a l'air de le suggerer God's breath) qu'il vaut mieux considerer que ca n'a pas de sens de definir une puissance rationelle d'un nombre negatif.

Hmmm 1/3 = 2/6 quand même

Ca se discute

[God's Breath]

J'insiste !

Vous avez défini , mais vous n'avez pas défini .

Vous voulez utiliser sans l'avoir démontré, mais cette implication est fausse, ainsi que le prouvent abondamment vos calculs, d'où votre trouble.

[leon1789]

Oui et non, je pense (comme a l'air de le suggerer God's breath) qu'il vaut mieux considerer que ca n'a pas de sens de definir une puissance rationelle d'un nombre negatif.

Je ne pense pas avoir dit que (-1)^(1/2) avait un sens : en effet, on a ni 1/2 entier , ni -1>0 ...
(-8)^(1/3) existe, mais c'est exceptionnel.

[bourbaki]

J'insiste !

Vous avez défini , mais vous n'avez pas défini .

Vous voulez utiliser sans l'avoir démontré, mais cette implication est fausse, ainsi que le prouvent abondamment vos calculs, d'où votre trouble.

C'est peut etre ça, peut-etre qu'on définit seulement pour p/q la fraction irreductible de r, avec q positif. je vais me renseigner ...
ça expliquerait l'erreur.
Par contre une question, en prenant la "bonne définition par , on peut bien le définir pour a un réel quelconque ?
Sinon pas de probleme sur le fait que 1/3 et 2/6 sont seulement équivalents, désolé leon1789 ...

[leon1789]

Vous voulez utiliser sans l'avoir démontré, mais cette implication est fausse, ainsi que le prouvent abondamment vos calculs, d'où votre trouble.

V'là ti pas autre chose : avec r=1/3=2/6 ...

Que la définition initiale (dans le premier message) soit mauvaise, oui ! Mais que , là, c'est .... trop fort pour moi.

[leon1789]

Sinon pas de probleme sur le fait que 1/3 et 2/6 sont seulement équivalents, désolé leon1789 ...

J'apprends ce soir que 1/3 n'est pas égal à 2/6 !

Remarque 6/2 = 3 n'est pas égal à 3/1 = 3 , donc ! Deux fonctions bijectives pour le prix d'une...

[God's Breath]

Oui et non, je pense (comme a l'air de le suggerer God's breath) qu'il vaut mieux considerer que ca n'a pas de sens de definir une puissance rationelle d'un nombre negatif.

Je ne suggère rien de tel.

Je remarque
– que vous définissez ;
– que vous définissez ;
– que vous ne démontrez pas que ces deux nombres sont égaux ;
– que vous imaginez qu'il sont égaux ;
– que vous ne définissez jamais .

Ce qu'il faudrait faire, c'est prouver que , ce qui permet alors de définir correctement .

On dirait que vous n'avez jamais défini de loi quotient !!!

[leon1789]

J'insiste :

(-8)^(1/3) = -2 oui
car où r=1/3 (=2/6=3/9=...) est la fonction réciproque de !

Mais en fait, la faute repose sur l'égalité
x^(ab) = (x^a)^b
qui est valide dans les cas suivants :
-1- pour tout lorsque a,b sont des entiers relatifs,
-2- pour tout a,b réels lorsque x > 0,
-3- ou encore dans quelques autres rares exceptions.

Tu n'es dans aucun de ces cas... d'où problème.

[bourbaki]

V'là ti pas autre chose : avec r=1/3=2/6 ...

Que la définition initiale (dans le premier message) soit mauvaise, oui ! Mais que , là, c'est .... trop fort pour moi.

en fait la bonne définition des fractions, c est un peu dur à comprendre on doit voir ça en L3 en maths, c'est avec les classes d'équivalence ... je ne me vois pas développer ceci sur ce poste désolé mais on dit que (a,b) est en relation avec (c,d) si a.d=b.c etc. ( hors sujet)

[God's Breath]

(-8)^(1/3) = -2 oui
car où r=1/3 (=2/6=3/9=...) est la fonction réciproque de

NON !!!

On a , mais avec n'est pas actuellement défini.

Il faudrait quand même apprendre à faire la différence entre un rationnel et ses représentants comme quotient d'entiers.

[leon1789]

Je remarque
– que vous définissez ;

oui si a>0, comme je disais.

– que vous définissez ;

mauvaise définition comme je disais

– que vous ne démontrez pas que ces deux nombres sont égaux ;
– que vous imaginez qu'il sont égaux ;
– que vous ne définissez jamais .

pour a>0 , tu as le choix entre 36/10 ou le logarithme.
pour a<0, là....

Ce qu'il faudrait faire, c'est prouver que , ce qui permet alors de définir correctement .

pour a<0, il sera difficile de définir , alors que existe sans problème.

[leon1789]

NON !!!

On a , mais avec n'est pas actuellement défini.

Il faudrait quand même apprendre à faire la différence entre un rationnel et ses représentants comme quotient d'entiers.

ok, je vois le genre...

[God's Breath]

mauvaise définition comme je disais

Une définition n'est ni bonne, ni mauvaise ; elle est, un point c'est tout, et on fait avec.

Et pour l'instant, la puissance n'est toujours pas définie si l'exposant est rationnel.

[invitebe0cd90e]

V'là ti pas autre chose : avec r=1/3=2/6 ...

Que la définition initiale (dans le premier message) soit mauvaise, oui ! Mais que , là, c'est .... trop fort pour moi.

Je persiste, 1/3 ca n'est pas exactement la meme chose que 2/6, et on tombe dans l'un des cas ou ca se voit...

Un rationnel est une classe d'equivalence de fractions, en gros. DOnc definir avec r rationnel implique de trouver une definition qui ne depende pas du representant de r choisi. Et on voit bien que la definition proposée ne satisfait pas a cette exigence quand a est negatif.

[leon1789]

en fait la bonne définition des fractions, c est un peu dur à comprendre on doit voir ça en L3 en maths, c'est avec les classes d'équivalence ...

oui, et tu verras que 1/3 et 2/6 appartiennent à la même classe d'équivalence, qui est le rationnel r auquel on pense.

[God's Breath]

oui, et tu verras que 1/3 et 2/6 appartiennent à la même classe d'équivalence, qui est le rationnel r auquel on pense.

Oui, mais le rationnel auquel on pense n'est ni , ni ...

[invitebe0cd90e]

Je ne suggère rien de tel.

Au temps pour moi, j'avais cru comprendre que tu voulais attirer l'attention dans ton message sur le fait qu'il n'existait pas de definition satisfaisante de avec r rationnel et a negatif.